Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Інтегрування тригонометричних функцій

1. Інтеграли виду , де R – раціональна функція. Інтеграли зазначеного виду приводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою так називаної універсальної тригонометричної підстановки . У результаті цієї підстановки маємо:

 

.

Приклади 13. Знайти інтеграли

1) .

Підінтегральна функція раціонально залежить від й ; застосуємо підстановку , тоді та

.

 

Повертаючись до минулої змінної, одержимо

 

.

 

2) .

 

Покладемо , тоді одержимо

.

 

Універсальна підстановка в багатьох випадках приводить до складних обчислень, тому що при її застосуванні та виражаються через t у вигляді раціональних дробів, що містять .

У деяких випадках знаходження інтегралів виду може бути спрощено.

1. Якщо непарна функція відносно sin x, тобто якщо , то інтеграл раціоналізується підстановкою .

2. Якщо непарна функція відносно cos x, тобто якщо , тоді інтеграл раціоналізується за допомогою підстановки .

3. Якщо парна функція відносно sin x й cos x, тобто якщо , тоді доцільно застосувати підстановку .

Приклади 14. Знайти інтеграли

1) .

Оскільки підінтегральна функція непарна відносно синуса, тоді покладемо . Звідси . Таким чином,

.

Отже,

.

 

Відзначимо, що в розглянутому випадку інтеграл завжди може бути записаний у вигляді .

2) .

Тут підінтегральна функція є непарною відносно косинуса. Тому застосовуємо підстановку ; тоді . Отже,

 

.

 

Оскільки , то

 

.

Остаточно одержуємо

 

.

 

Відзначимо, що в розглянутому випадку інтеграл завжди може бути записаний у вигляді .

3) .

 

Підінтегральна функція парна відносно синуса та косинуса. Покладемо ; тоді ; ; . Звідси

.

Далі, маємо

.

і, отже,

.

 

Відзначимо, що знаходження інтегралу можна спростити, якщо у вихідному інтегралі розділити чисельник і знаменник на :

.

 

2. Інтеграли виду . Виділимо тут два випадки, що мають особливо важливе значення.

Випадок 1. Принаймні один з показників m або n – непарне додатне число.

Якщо n – непарне додатне число, то застосовується підстановка ; якщо ж m – непарне додатне число, - підстановка .

Приклади 15. Знайти інтеграли

1) .

Покладемо , тоді одержимо

.

2) .

Маємо

.

 

Якщо , тоді отримаємо

.

 

Випадок 2. Обидва показники ступеня m й n - парні додатні числа. Тут варто перетворити підінтегральну функцію за допомогою формул

 

(1)

(2)

(3)

 

Приклади 16. Знайти інтеграли

1) .

З формули (1) витікає, що

.

Застосувавши формулу (2), одержуємо



 

.

 

Отже,

.

 

2) .

Використовуючи формулу (3), одержимо

 

.

3) .

 

.

 

3. Інтеграли виду та , де m – ціле додатне число. При знаходженні таких інтегралів застосовується формула (або ), за допомогою якої послідовно знижується ступінь тангенса або котангенса.

Приклади 17. Знайти інтеграли

1) .

 

.

 

2) .

 

.

 

4. Інтеграли виду й , де п – парне додатне число. Такі інтеграли знаходяться аналогічно розглянутим у п. 3 за допомогою формули (або ).

Приклади 18. Знайти інтеграли

1) .

.

 

2) .

.

5. Інтеграли виду й . Інтеграли від непарного додатного ступеня секанса або косеканса простіше всього знаходяться за рекурентними формулами:

 

. (1)

. (2)

 

Приклади 19. Знайти інтеграли

1) .

Застосовуючи рекурентну формулу (2) при , тобто при , одержимо

;

 

покладаючи , тобто , за тією ж формулою маємо

 

.

 

Оскільки , тоді

 

,

.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Інтегрування тригонометричних функцій

Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1630; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:

  1. Бухгалтерський облік – одна з основних функцій управління.
  2. Визначення z-перетворених передавальних функцій ЦАС
  3. Визначення переміщень в пружних системах шляхом інтегрування диференціального рівняння пружної осі балки
  4. Відповідно до сучасних завдань логістики розрізняють два види її функцій: оперативні і координаційні.
  5. Всю розмаїтість концентраційних функцій живої речовини В. І. Вернадський звів до двох великих груп: концентраційні функції I роду й концентраційні функції II роду.
  6. Дисперсія системи функцій випадкових величин
  7. До інформації належать усі види відомостей, повідомлень (усні, письмові, графічні тощо) і знань, потрібних для реалізації функцій менеджменту.
  8. Загальна характеристика принципів і функцій педагогічного менеджменту
  9. ЗМІ виконує величезну кількість функцій в абсолютно різних сферах.
  10. Інтегрування деяких видів ірраціональних функцій
  11. Інтегрування дробово-раціональних функцій.
  12. Інтегрування елементарних раціональних дробів




studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.224.200.104
Генерация страницы за: 0.095 сек.