КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Властивості степеневих рядів
1. Степеневий ряд (14.27) рівномірно збігається на будь-якому проміжку , який розміщений всередині інтервалу збіжності. Тому: 1.1. на проміжку сума степеневого ряду є неперервна функція; 1.2. якщо границі інтегрування і розташовані в середині інтервалу збіжності степеневого ряду, то його можна інтегрувати почленно. 2. Якщо степеневий ряд (14.27) має інтервал збіжності , то ряд, отриманий почленним диференціюванням ряду (14.27), тобто ряд , (14.32) має той самий інтервал збіжності і в кожній точці інтервалу похідна від суми степеневого ряду (14.27) дорівнює сумі ряду (14.32). Приклад 13. Знайти область збіжності степеневого ряду . Знайдемо радіус збіжності ряду . Маємо . При дістанемо числовий ряд . Загальний член ряду прямує до нескінченності при : . Ряд розбігається. Нехай . Отримуємо числовий ряд . Необхідна умова збіжності не виконується. Тому ряд збігається тільки всередині інтервалу . Приклад 14. Знайти область збіжності степеневого ряду . Знайдемо радіус збіжності ряду, як і в попередньому прикладі: . При отримаємо знакозмінний числовий ряд . Його члени монотонно спадають за абсолютною величиною, і . За ознакою Лейбніца ряд збігається. Ряд з модулів можна порівняти із збіжним рядом : . За теоремою порівняння І ряд з модулів збігається, тобто при маємо абсолютно збіжний ряд. При отримаємо ряд з додатними членами: Цей ряд, який вже розглядався, є збіжним. Заданий ряд збігається як всередині, так і на кінцях інтервалу . Приклад 15. Знайти область збіжності степеневого ряду . Знайдемо радіус збіжності ряду . Отримаємо , тому що . (14.33) У заданому ряді центром інтервалу збіжності є точка , тому ряд збігається у внутрішніх точках інтервалу .
Дослідимо ряд на збіжність на кінцях цього інтервалу. При . Числовий ряд розбігається, як і гармонійний ряд. При . Знакозмінний ряд збігається умовно. Дійсно, ряд з модулів отримано при , він розбігається. Члени ряду монотонно спадні за модулем і . Тому за ознакою Лейбніца ряд збігається умовно. Область збіжності степеневого ряду: .
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 3328; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |