Основні властивості визначників

Сформулюємо й доведемо основні властивості визначників 2-го й 3-го порядки (доказ проведемо для визначників 3-го порядки).

Властивість 1. Визначник не змінюється при транспонуванні, тобто

Доказ.

=

Зауваження. Наступні властивості визначників будуть формулюватися тільки для рядків. При цьому із властивості 1 треба, що тими ж властивостями будуть володіти й стовпці.

Властивість 2. При множенні елементів рядка визначника на деяке число весь визначник множиться на це число, тобто

.

Доказ.

Властивість 3. Визначник, що має нульовий рядок, дорівнює 0.

Доказ цієї властивості треба із властивості 2 при k = 0.

Властивість 4. Визначник, що має два рівні рядки, дорівнює 0.

Доказ.

Властивість 5. Визначник, два рядки якого пропорційні, дорівнює 0.

Доказ треба із властивостей 2 і 4.

Властивість 6. При перестановці двох рядків визначника він множиться на -1.

Доказ.

Властивість 7.

Доказ цієї властивості можна провести самостійно, зрівнявши значення лівої й правої частин рівності, знайдені за допомогою визначення 1.5.

Властивість 8. Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на те саме число.

Доказ треба із властивостей 7 і 5.

Дата добавления: 2014-01-04