Розкладання визначника по рядку

Визначення1.7. Мінором елемента визначника називається визначник, отриманий з даного шляхом викреслювання рядка й стовпця, у яких коштує обраний елемент.

Позначення: обраний елемент визначника, його мінор.

Приклад. Для

Визначення1.8. Алгебраїчним доповненням елемента визначника називається його мінор, якщо сума індексів даного елемента i+j є число парне, або число, протилежне мінору, якщо i+j непарно, тобто

Розглянемо ще один спосіб обчислення визначників третього порядку - так зване розкладання по рядку або стовпцю. Для цього доведемо наступну теорему:

Теорема 1.1. Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого його рядка або стовпця на їхні алгебраїчні доповнення, тобто

де i=1,2,3.

Доказ.

Доведемо теорему для першого рядка визначника, тому що для будь-якого іншого рядка або стовпця можна провести аналогічні міркування й одержати той же результат.

Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів першого рядка:

Тоді

Таким чином, для обчислення визначника досить знайти алгебраїчні доповнення до елементів якого-небудь рядка або стовпця й обчислити суму їхніх добутків на відповідні елементи визначника.

Приклад. Обчислимо визначник за допомогою розкладання по першому стовпці. Помітимо, що при цьому шукати не потрібно, тому що, отже, і Знайдемо й Отже,

=

Визначники більше високих порядків.

Визначення1.9. Визначник n-го порядку

є сума n! членів кожний з яких відповідає одному з n! упорядкованих множин отриманих r попарними перестановками елементів із множини 1,2,…,n...

Зауваження 1. Властивості визначників 3-го порядки справедливі й для визначників n-го порядку.

Зауваження 2. На практиці визначники високих порядків обчислюють за допомогою розкладання по рядку або стовпцю. Це дозволяє понизити порядок визначників, що обчислюються, і в остаточному підсумку звести задачу до знаходження визначників 3-го порядки.

Приклад. Обчислимо визначник 4-го порядки за допомогою розкладання по 2-му стовпцю. Для цього знайдемо й :

Отже,

Дата добавления: 2014-01-04