Біноміальний закон розподілу ймовірностей

Проводяться випробування, в кожному з яких може відбутися подія А або . Якщо ймовірність події А в одному випробуванні не залежить від появи його в будь-якому іншому, то випробування називаються незалежними відносно події А.

Нехай випробування проходять в однакових умовах з однаковими ймовірностями р. Тоді ймовірність – це q = 1 – p.

Ймовірність того, що в серії з п незалежних випробувань подія А з’явиться рівно k раз (і не з’явиться п – k раз), позначимо Р_n(k), тоді

P_n(k) = p^kq^n-k - Формула Бернуллі (1)

k = 0, 1, …, n.

Цілочислові випадкова величина Х має біноміальний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюються за формулою Бернуллі:

P_n(k) = p^kq^n-k

У табличній формі цей закон набирає такого вигляду:

Х=хk=k					…	n
	q^n				…	р^n

При перевірці виконання умови нормування використовується формула біному Ньютона, тому закон розподілу називають біноміальним:

(Т.я. - біном Ньютона)

Числові характеристики для цього закону:

1. M(X)=np (2)

2. (3)

3. (4)

Приклад 1. Перевіркою якості встановлено, що з кожних 100 деталей не мають дефектів 75 штук в середньому. Скласти біноміальне розподілення ймовірностей числа деталей без дефектів з трьох навмання взятих деталей. Знайти М(Х) та σ(Х) для отриманого закону.

Розв'язання. 1) З умови задачі n = 3, = 0,75, = 1 – 0,75 = 0,25.

По формулі (1) P_n(k) = p^kq^n-k маємо

При k = 0 – 4-ри деталі з дефектом P₃(0) = p⁰q^3-0 = ;

При k = 1 – одна деталь без дефекту P₃(1) = p¹q^3-1 = =

;

При k = 2 – дві деталі без дефекту P₃(2) = p²q^3-2 = =

;

При k = 3 – всі три без дефекту P₃(3) = p³q^3-3 = =

;

Закон розподілення випадкової величини Х – «числа стандартних деталей з трьох навмання взятих» можно представити у вигляді таблиці:

Х = k
Р	0,0156	0,1406	0,4219	0,4219

Перевіримо умову нормування

Умова нормування виконується.

2) Знайдемо М(Х) =? По формулі (2) М(Х) = np, маємо М(Х) = 3∙0,75 = 2,25 (од)

3) Знайдемо σ(Х) =? По формулі (4) , маємо σ(Х) =

(од²)

σ(Х) = (од)

Відповідь: біноміальне розподілення ймовірностей числа деталей без дефектів з трьох навмання взятих деталей має вигляд:

Х = k
Р	0,0156	0,1406	0,4219	0,4219

М(Х) = 2,25 (од), σ(Х) = (од).

Дата добавления: 2014-01-04