Доказательство. Кольцо классов вычетов

Кольцо классов вычетов.

Примеры.

1. В кольце Z ´ Z элементы вида (a,0) и (0,a) " a¹ 0 (и

только такие) являются делителями нуля.

1. В кольце функций F[a,b] функция Дирихле D(x) и

1-D(x) – делители нуля, так как D(x)(1- D(x))= 0. Также | sgn(x)|(1 - | sgn(x)|) = 0, (|x| - x)(|x| + x)= 0.

Утверждение. Если a | 1, то a | 0.

Действительно, если $ b Î K такой, что ab = 1, то есть

b = a ^-1, и $ cÎ K, с¹ 0, такой, что ac = 0, то b(ac) = b×0 = 0, но (ba)c =1×с = с= 0 - противоречие.

ÿ

Следствие. В поле нет делителей нуля.

Лекция 12.

Пусть Z - множество целых чисел, и m Î Z. Введем на Z бинарное отношение p следующим образом: для a, bÎ Z пусть по определению apb Û a – b=km при некотором kÎ Z. При m ¹ 0 это означает, что apb Û m |(a – b).

Утверждение. p - отношение эквивалентности на Z.

p - рефлексивно, так как " аÎ Z a – a = 0×m Þ a p a.

p - симметрично, так как если a p b, то a – b = km, kÎ Z Þ

b – a =(-k)m, и -kÎ Z Þ bp a.

p - транзитивно, так как если a p b, и bp с, то a – b = km, где kÎ Z, b – c = lm, где lÎ Z Þ (a – b) +(b – c) = a – c = (k+l)m, и k+lÎ Z Þ a p с.

ÿ

Классы эквивалентных элементов по отношению p мы будем обозначать cl_p a или (если ясно, какое p имеется ввиду) cl a или . Очевидно, cl_p a = {b Î Z | bp a } =

= { b Î Z | b – a = km для некоторого k Î Z }=

= { b Î Z | b – a Î m Z } = { b Î Z | b Î a + m Z } = a + m Z.

Так как p - отношение эквивалентности на Z, то Z разбива­ется на непересекающиеся классы эквивалентных элементов.

Фактормножество Z/ p, то есть множество классов эквива­лентных элементов, мы будем обозначать Z_m или Z/ (m).

Если bÎ cl a, то говорят, что b – представитель из cl a.

Очевидно, при m = 0 " a cl a = a, а отношение эквивалентности – это отношение равенства. Таким образом, при m = 0 Z_m = Z.

Далее будем считать, что m ¹ 0.

Если a p b, то часто пишут ab(mod m) или ab(m), и говорят, что a и b сравнимы по модулю m. А классы эквива­лентных элементов называют классами вычетов по модулю m или классами по модулю m.

Разделим a и b на m с остатком. Пусть a = mq₁ + r₁,

b = mq₂ + r₂, где 0 £ r₁< m, 0 £ r₂< m. Очевидно, a - r₁= mq₁,

то есть m|(a – r₁) Þ = . Аналогично, =.

Утверждение. = Û r₁= r₂.

Доказательство. Ü. Пусть r₁= r₂. Тогда ===.

Þ. Пусть =, и r₁ ¹ r₂, например, r₁ >r₂. Тогда ===

Þ r₁p r₂ Þ m| (r₁ - r₂). Но 0 < r₁ - r₂ < m. Получили противо­речие, то есть r₁= r₂.

ÿ

Из утверждения мы получаем, что различных классов по модулю m ровно столько, сколько существует различных ос­татков от деления на m, то есть существует m различных классов, и Z_m = {,,,…,}.

Очевидно, =, =, =, =.

Зададим на Z_m структуру кольца.

I. Определим операции сложения и умножения так:

пусть += ,×= .

Докажем корректность нашего определения, то есть неза­висимость его от выбора представителей в классах.

Пусть a₁Î, b₁Î, то есть =, =. Тогда

a₁= a + km, b₁= b + lm, и a₁+ b₁= a + b + (k + l)m,

a₁ b₁= ab +(kb + al + klm)m Þ (a₁+ b₁)p (a + b), (a₁ b₁)p(a b) Þ =, =. Корректность доказана.

II. Проверим свойства операций.

1. (+)+=+===+=

=+(+) – это свойство ассоциативности сложения в Z_m следует из ассоциативности сложения в Z.

2. Так как " Î Z_m +=, то в Z_m $ нейтральный

элемент по сложению.

3. Так как " Î Z_m +=, то " Î Z_m $ проти­воположный элемент по сложению: - =.

Свойства 4, 5, 8, 9 из определения кольца следуют из соот­ветствующих свойств кольца целых чисел и доказываются так же, как и свойство 1.

Упражнение. Доказать свойства 4, 5, 8, 9.

6. Так как " Î Z_m ×=, то в Z_m $ нейтральный

элемент по умножению.

Таким образом, мы доказали, что Z_m - АКУ-кольцо.

Пример. Выпишем таблицы сложения и умножения для Z₆.

Таблица сложения

Таблица умножения

+

х

Так как ×=, то и в Z₆ являются делителями нуля. В то же время ×=, то есть - обратимый элемент в Z₆.

Утверждение. Элемент Î Z_m обратим Û НОД(a,m)= 1.

Дата добавления: 2014-01-04