КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Значення похідної в деякій точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямом осі Ох
Тоді . 2. Нехай функція у = f (x) є степеневою, , тобто v (x) = а. Тоді Приклад. Знайти у ¢, якщо у = (х 2 + 1)sin x . Ø 1) . 2) . 3) Похідні вищих порядків Нехай у = f (x) — деяка диференційовна функція на інтервалі І, причому похідна цієї функції у¢ = f¢(x) також є диференційовною функцією на зазначеному інтервалі. Похідна функції f ¢(x) називається похідною другого порядку функції f і позначається f ¢¢ або f (2). Якщо f (2) диференційовна на інтервалі І, то похідна функції f (2) називається похідною третього порядку функції f (х) і позначається f (3). Аналогічно, похідною n - го порядку f (n) функції f (х) за індукцією називається похідна функції f (n- 1), якщо вона існує і диференційовна. Іноді замість позначення f (n)(х) застосовують символ або Dny, Dnf (x). Приклад. Для функції f (x) = х 4 + 2 х 3 + х + 5 знайти похідну n -го порядку. Ø f ¢(x) = 4 х 3 + 6 х 2 + 1, f ²(x) = 12 х 2 + 12 х, f (3)(x) = 24 х + 12, f (4)(x) = 24, f (n)(x) = 0 для n ³ 5. Правила відшукання На похідні n -го порядку легко поширюються правила відшукання похідних першого порядку. Очевидно, виконуються рівності: Виведемо так звану формулу Лейбніца, яка дає змогу обчислювати похідну n -го порядку від добутку двох функцій u (x) та v (x). Для того щоб вивести цю формулу, знаходимо спочатку кілька похідних, а далі встановлюємо загальне правило: Закон утворення похідних зберігається для похідних будь-якого порядку й полягає ось у чому. Вираз (u + v)n потрібно розкласти за формулою бінома Ньютона й у здобутому розкладі замінити показники степенів для u та v показниками порядку похідних, причому нульові степені, що входять у крайні члени розкладу, слід замінити самими функціями (тобто похідними нульового порядку):
Це формула Лейбніца. Зауваження. Повне доведення цієї формули можна подати методом повної математичної індукції [9]. Приклад. Задано функцію . Знайти її похідну у (n). Ø , або . Механічний та геометричний зміст похідної Джерелом диференціального числення стали, як відомо, два питання: 1) про відшукання швидкості в разі довільного закону руху; 2) про відшукання дотичної до довільної лінії. Обидва вони привели до однієї й тієї самої обчислювальної задачі, яку було покладено в основу диференціального числення. Ця задача полягає в тому, щоб за даною функцією f(x) відшукати іншу функцію f ¢ (x), яка дістала назву похідної і являє собою швидкість зміни функції f(x) щодо зміни аргументу. У механіці відповідна задача формулюється так: знайти швидкість тіла, що рухається за законом , у деякий момент часу t. Вважаємо, що відстань s і час t — фізичні величини, які можна вимірювати. Нехай за час від t до t + D t тіло пройшло шлях s + D s = f (t + D t). Тоді D s = f (t + D t) – f (t). Середня швидкість тіла, що рухається вздовж деякої лінії, визначається за формулою: . Щоб знайти миттєву швидкість v такого тіла, потрібно перейти до границі відношення при : . Миттєвою швидкістю тіла, що рухається вздовж лінії s = f (t), називається похідна функції s = f (t) за часом t: . Приклад. Нехай — рівняння вільного руху тіла, g — прискорення його вільного падіння. Знайти миттєву швидкість тіла в будь-який момент часу; у момент часу t = 2 c. Ø За означенням маємо . Зокрема, якщо t = 2, дістаємо: .▲ Сформулюємо тепер розглянуту задачу мовою геометрії. Нехай дано функцію у = f (x), графік якої наведено на Якщо приріст D х ® 0, то точка Q прямує до точки P, а кут b — до кута a, утвореного дотичною до розглядуваної кривої в даній точці з додатним напрямом осі Ох. Отже, маємо:
. (6) Приклад. Знайти тангенси кутів нахилу дотичної до кривої
Рис. 3 Ø Згідно з (6) дістаємо: За формулою похідної степеневої функції маємо: Отже, Рівняння дотичної Розглянемо рівняння кривої у = f (x) (рис. 4). Візьмемо на кривій точку М (х 1, у 1) і запишемо рівняння дотичної до цієї кривої в точці М, припускаючи, що дотична не паралельна жодній координатній осі. Рівняння кривої, що має кутовий коефіцієнт k і проходить через точку М, набирає вигляду . Для дотичної , тому рівняння дотичної буде таке: Поряд із дотичною до кривої розглядають і її нормаль. Нормаллю до кривої в даній точці називається пряма, яка проходить через цю точку і перпендикулярна до дотичної в ній.
Рис. 4 Із означення нормалі випливає, що її кутовий коефіцієнт k норм пов’язаний із кутовим коефіцієнтом k дотичної рівністю , тобто Отже, дістаємо рівняння нормалі до кривої у = f (x) у точці Приклад. Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої · Оскільки у ¢ = 3 х 2, то кутовий коефіцієнт дотичної . Отже, згідно з (1) рівняння дотичної буде таке: , або . Рівняння нормалі: , або (рис. 5). Рис. 5 1. Знайти похідну функції. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) . 2. В якій точці похідна функції дорівнює 7? 3. Скласти рівняння дотичної до графіка функції в точці : 1) 2) 4. Знайти кута похилу графіка функції в точці 5. В яких точках графіка функції дотична до нього утворює тупий кут з віссю абсцис? 6. Знайти , якщо . 7. Знайти похідну функції. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) . 8. Знайти приріст функції в точці , якщо . 9. Вибрати функцію, для якої не існує похідної в точці . 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 10. Розв’язати рівняння , якщо: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 775; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |