Значення похідної в деякій точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямом осі Ох

Тоді

.

2. Нехай функція у = f (x) є степеневою, , тобто v (x) = а.

Тоді

Приклад. Знайти у ¢, якщо у = (х ² + 1)^{sin x} .

Ø 1) .

2) .

3)

Похідні вищих порядків

Нехай у = f (x) — деяка диференційовна функція на інтервалі І, причому похідна цієї функції у¢ = f¢(x) також є диференційовною функцією на зазначеному інтервалі. Похідна функції f ¢(x) називається похідною другого порядку функції f і позначається f ¢¢ або f ⁽²⁾. Якщо f ⁽²⁾ диференційовна на інтервалі І, то похідна функції f ⁽²⁾ називається похідною третього порядку функції f (х) і позначається f ⁽³⁾.

Аналогічно, похідною n - го порядку f ⁽ⁿ⁾ функції f (х) за індукцією називається похідна функції f ^{(n- 1)}, якщо вона існує і диферен­ційовна.

Іноді замість позначення f ⁽ⁿ⁾(х) застосовують символ або Dⁿy, Dⁿf (x).

Приклад. Для функції f (x) = х ⁴ + 2 х ³ + х + 5 знайти похідну n -го порядку.

Ø f ¢(x) = 4 х ³ + 6 х ² + 1,

f ²(x) = 12 х ² + 12 х,

f ⁽³⁾(x) = 24 х + 12,

f ⁽⁴⁾(x) = 24,

f ⁽ⁿ⁾(x) = 0 для n ³ 5.

Правила відшукання
похідних n-го порядку

На похідні n -го порядку легко поширюються правила відшу­кання похідних першого порядку.

Очевидно, виконуються рівності:

Виведемо так звану формулу Лейбніца, яка дає змогу обчислювати похідну n -го порядку від добутку двох функцій u (x) та v (x). Для того щоб вивести цю формулу, знаходимо спочатку кіль­ка похідних, а далі встановлюємо загальне правило:

Закон утворення похідних зберігається для похідних будь-якого порядку й полягає ось у чому.

Вираз (u + v)ⁿ потрібно розкласти за формулою бінома Ньютона й у здобутому розкладі замінити показники степенів для u та v показниками порядку похідних, причому нульові степені, що входять у крайні члени розкладу, слід замінити самими функціями (тобто похідними нульового порядку):

Це формула Лейбніца.

Зауваження. Повне доведення цієї формули можна подати методом повної математичної індукції [9].

Приклад. Задано функцію . Знайти її похідну у ⁽ⁿ⁾.

Ø

,

або

.

Механічний та геометричний зміст похідної

Джерелом диференціального числення стали, як відомо, два питання:

1) про відшукання швидкості в разі довільного закону руху;

2) про відшукання дотичної до довільної лінії.

Обидва вони привели до однієї й тієї самої обчислювальної задачі, яку було покладено в основу диференціального числення. Ця задача полягає в тому, щоб за даною функцією f(x) відшукати іншу функцію f ¢ (x), яка дістала назву похідної і являє собою швид­кість зміни функції f(x) щодо зміни аргументу.

У механіці відповідна задача формулюється так: знайти швидкість тіла, що рухається за законом , у деякий момент часу t. Вважаємо, що відстань s і час t — фізичні величини, які можна вимірювати.

Нехай за час від t до t + D t тіло пройшло шлях s + D s = f (t + D t).

Тоді D s = f (t + D t) – f (t).

Середня швидкість тіла, що рухається вздовж деякої лінії, визначається за формулою:

.

Щоб знайти миттєву швидкість v такого тіла, потрібно перейти до границі відношення при :

.

Миттєвою швидкістю тіла, що рухається вздовж лінії s = f (t), називається похідна функції s = f (t) за часом t:

.

Приклад. Нехай — рівняння вільного руху тіла, g — прискорення його вільного падіння. Знайти миттєву швидкість тіла в будь-який момент часу; у момент часу t = 2 c.

Ø За означенням маємо

.

Зокрема, якщо t = 2, дістаємо:

.▲

Сформулюємо тепер розглянуту задачу мовою геометрії.

Нехай дано функцію у = f (x), графік якої наведено на
рис. 2. Диференціальне відношення дорівнює тангенсу кута b, утвореного січною, що проходить через точки Р та Q, які мають відповідно абсциси х та х + D х, із додатним напрямом oсі Ох.

Якщо приріст D х ® 0, то точка Q прямує до точки P, а кут b — до кута a, утвореного дотичною до розглядуваної кривої в даній точці з додатним напрямом осі Ох. Отже, маємо:

. (6)

Приклад. Знайти тангенси кутів нахилу дотичної до кривої
у = х ² у точках М ₁(½; ¼), М ₂(–1; 1) (рис. 3).

Рис. 3

Ø Згідно з (6) дістаємо:

За формулою похідної степеневої функції маємо:

Отже,

Рівняння дотичної
та нормалі до кривої

Розглянемо рівняння кривої у = f (x) (рис. 4). Візьмемо на кривій точку М (х ₁, у ₁) і запишемо рівняння дотичної до цієї кривої в точці М, припускаючи, що дотична не паралельна жодній координатній осі.

Рівняння кривої, що має кутовий коефіцієнт k і проходить через точку М, набирає вигляду

.

Для дотичної , тому рівняння дотичної буде таке:

Поряд із дотичною до кривої розглядають і її нормаль.

Нормаллю до кривої в даній точці називається пряма, яка проходить через цю точку і перпендикулярна до дотичної в ній.

Рис. 4

Із означення нормалі випливає, що її кутовий коефіцієнт k _норм пов’язаний із кутовим коефіцієнтом k дотичної рівністю

, тобто

Отже, дістаємо рівняння нормалі до кривої у = f (x) у точці
М (х ₁, у ₁):

Приклад. Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої
у = х³ у точці М(1; 1).

· Оскільки у ¢ = 3 х ², то кутовий коефіцієнт дотичної

.

Отже, згідно з (1) рівняння дотичної буде таке:

, або .

Рівняння нормалі:

, або (рис. 5).

Рис. 5

1. Знайти похідну функції.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

2. В якій точці похідна функції дорівнює 7?

3. Скласти рівняння дотичної до графіка функції в точці :

1)

2)

4. Знайти кута похилу графіка функції в точці

5. В яких точках графіка функції дотична до нього утворює тупий кут з віссю абсцис?

6. Знайти , якщо .

7. Знайти похідну функції.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

8. Знайти приріст функції в точці , якщо .

9. Вибрати функцію, для якої не існує похідної в точці .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

10. Розв’язати рівняння , якщо:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Дата добавления: 2014-01-04