Свойства производной

Производная.

Пусть f(х)Î P [x], ст.f = n. Тогда f(х+у)Î P [x, у]. Рассмотрим F(x,y)= f(х+у) – f(х) = а_п(х)у ^п+ а_п-1(х)у ^п-1 +…+ а₀(х). Так как F(x,0)= f(х) – f(х) = 0, то а₀(х)= 0 _Р[x] Þ у | F(x,y) Þ F(x,y) = yF₁(x,y), где F₁(x,y)Î P [x, у].

Определение. Производной многочлена f(х) называется многочлен f¢(х)= F₁(x,0).

Очевидно, f¢(х) = F₁(x,у)|_y=0 = , и для многочленов над полем R наше определение совпадает с определением из математического анализа, так как = = F₁(x,0).

1. Если f(х) = а, аÎ P, то f¢(х) = 0.

2. Если f(х) = х, то f¢(х) = 1.

Упражнение. Доказать очевидные свойства 1,2.

3. (f(х)+g(х))¢ = f(х)¢+g(х)¢.

Доказательство. Пусть h(x)= f(х)+g(х). Сложим два равенства: f(х+у) – f(х) = yF₁(x,y) и g(х+у) – g(х) = yG₁(x,y). Получим: h(х+у) – h(х) = yH₁(x,y), и h¢(х) = H₁(x,0)= F₁(x,0)+ +G₁(x,0), то есть (f(х)+g(х))¢ = f(х)¢+g(х)¢.

По индукции можно доказать эту формулу для любых п слагаемых.

4. (f(х)g(х))¢ = f(х)¢g(х)+ f(х)g(х)¢.

Доказательство. Пусть h(x)= f(х)g(х). Перемножим два равенства: f(х+у) = f(х) + yF₁(x,y) и g(х+у) = g(х) + yG₁(x,y).

Получим: f(х+у)g(х+у)=f(х)g(х)+yF₁(x,y)g(х)+yG₁(x,y)f(х)+ + y²F₁(x,y)G₁(x,y) Þ H₁(x,y) = (h(x+y) – h(x))¤ y = F₁(x,y)g(х)+ +G₁(x,y)f(х) + yF₁(x,y)G₁(x,y) Þ h¢(x) = F₁(x,0)g(х)+ G₁(x,0)f(х) Þ (f(х)g(х))¢ = f(х)¢g(х)+ f(х)g(х)¢.

5. " k Î N (f(х)^k)¢ = k f(х)^k-1f(х)¢.

Доказательство индукцией по k.

При k = 1 утверждение очевидно.

Пусть утверждение верно для k. Докажем его для k+1. (f(х)^k+1)¢ = (f(x)f(х)^k)¢ = f(x)¢ f(х)^k + f(x)(f(х)^k)¢ = f(x)¢ f(х)^k +

+ f(x) k f(х)^k-1f(х)¢ = (k+1) f(х)^k f(х)¢.

Дата добавления: 2014-01-04