Свойства евклидовых пространств

Определения.

1. Назовём длиной вектора х Î Е выражение | x | = . Так как (x, x) ³ 0 " х Î Е, то длина определена " х Î Е.

2. Будем говорить, что х, у Î Е ортогональны, х ^ у, если

(х, у) = 0.

Теорема Пифагора. Если х ^ у, то | x + у | ² = | x | ² + | у | ².

Доказательство. | x+у | ² = (х+у, х+у)= (х, х)+ (у, у)+2(х,у) = = | x | ² + | у | ².

ÿ

Следствие. Если х ^ у, то | x + у | ² ³ | x | ², | x + у | ³ | x |, причем | x + у | ² = | x | ² Û у = 0.

Теорема 2. Пусть х, у Î Е, х ¹ 0. Тогда $ aÎ R такое, что у = aх + z, где z ^ x.

Доказательство. z = у - aх, z ^ x Û (у - aх, x) = 0 Û

(у, х) - a(х, x) = 0 Û a = (у, х) / (х, x).

ÿ

Теорема (неравенство Коши-Буняковского). | (x, y)|£ | x||у |.

Доказательство. При х= 0 неравенство обращается в равенство. Если же х ¹ 0, то по теореме 2 у = aх + z, и по следствию из теоремы Пифагора | у | ³ |aх | = |a || х | =

=×|х | = Þ | x||у | ³ | (x, y)|, причем равенство имеет место лишь при z = 0, у = aх.

ÿ

Дата добавления: 2014-01-04