КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Определение. СвойстваОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Упражнения. 1. Доказать, что L2 ^ L1 Û L2 Í L1 ^. 2. Доказать, что (L1 ^ ) ^ = L1. 3. Доказать, что L1 ^ + L2 ^ = (L1 L2) ^.
Определение. Линейный оператор j: Е ® Е называется ортогональным, если (j х, j у) = (х, у) " х, у Î Е. Утверждение 1. Если j - ортогональный оператор, то j - невырожденный. Доказательство. Если хÎ Ker j, то (jх, jх) = (х, х) = 0 Þ х = 0 Þ Ker j = 0. Утверждение 2. Если j - ортогональный оператор, то j -1 - ортогональный оператор. Доказательство. Пусть j -1х = а, j -1у = b. Тогда (а, b) = = (ja, jb) = (x, y) Þ (x, y)= (а, b) = (j -1х, j -1у). Таким образом, ортогональный линейный оператор – это автоморфизм евклидова пространства Е (изоморфизм Е на себя). Теорема 1. Для ортогонального оператора j: Еn ® Еn эквивалентны следующие 15 условий:
е = {е1,..,en} в Еn.
ортонормированного базиса и = {и1,..,иn} в Еn. 5. {j u1 ,…,j un } – ортонормированный базис. 6. = = gs,t, где gi,j = (еi, ej) – элементы матрицы Грама, а (ai,j) = []. 7. = ds,t, где (bi,j) = []. 8. [] t [] = . 9. [] t [] = Е. 10. [] t = [] -1. 11. [][] t = Е. 12. = ds,t. 13. Строки матрицы [] являются ортонормированным базисом в R n. 14. Столбцы матрицы [] являются ортонормированным базисом в пространстве столбцов R п. 15. [] t – матрица ортогонального оператора. Доказательство. Очевидно, из 1 Þ 2,3,4 (как частные случаи), 6 Û 8, 7 Û 9 Û 10 Û 11 Û 12 Û 13 Û 15, 4 Û 5 Û 7 Û 14. Из 2 Þ 1, так как 2(jх,jу)=(jх+jу,jх+jу) - (jх,jx) - (jy,jy)= = |j(х+у)|2 - | jх |2 - | jy |2 =| х+у |2 - | х |2 - | y |2 = 2(х, у). Из 3 Þ 1, так как (jх, jу) = (j(), j( )) = == = (, )= (х, у). Так же проверяется, что из 4 Þ 1. И наконец, 3 Û 6, так как (jеs, jet) = (, )= = = . ÿ Следствие. Если j - ортогональный оператор, то det j = ±1. Доказательство. [] t [] = Е Þ det ( [] t [] ) = = det [] t× det [] = (det [] )2 = det Е = 1. Определение. Матрица А называется ортогональной, если А - матрица некоторого ортогонального оператора в ортонормированном базисе, то есть, если для неё выполняется одно из эквивалентных условий Теоремы 1 под номерами 7, 9, 10, 11, 12, 13 или 14.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 261; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |