Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Определение. Свойства

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Упражнения.

1. Доказать, что L2 ^ L1 Û L2 Í L1 ^.

2. Доказать, что (L1 ^ ) ^ = L1.

3. Доказать, что L1 ^ + L2 ^ = (L1 L2) ^.

 

 

Определение. Линейный оператор j: Е ® Е называется ортогональным, если (j х, j у) = (х, у) " х, у Î Е.

Утверждение 1. Если j - ортогональный оператор, то j -

невырожденный.

Доказательство. Если хÎ Ker j, то (jх, jх) = (х, х) = 0 Þ х = 0 Þ Ker j = 0.

Утверждение 2. Если j - ортогональный оператор, то

j -1 - ортогональный оператор.

Доказательство. Пусть j -1х = а, j -1у = b. Тогда (а, b) = = (ja, jb) = (x, y) Þ (x, y)= (а, b) = (j -1х, j -1у).

Таким образом, ортогональный линейный оператор – это автоморфизм евклидова пространства Е (изоморфизм Е

на себя).

Теорема 1. Для ортогонального оператора j: Еn ® Еn эк­вивалентны следующие 15 условий:

  1. (j х, j у) = (х, у) " х, у Î Еn.
  2. (j х, j х) = (х, х) (то есть | | = | х |) " хÎ Еn.
  3. (j еs, j et) = (еs, et) " s, t " (для некоторого) базиса

е = {е1,..,en} в Еn.

  1. (j us ,j ut) = (us, ut) = dst " s, t " (для некоторого)

ортонормированного базиса и = {и1,..,иn} в Еn.

5. {j u1 ,…,j un } – ортонормированный базис.

6. = = gs,t, где gi,j = (еi, ej)

элементы матрицы Грама, а (ai,j) = [].

7. = ds,t, где (bi,j) = [].

8. [] t [] = .

9. [] t [] = Е.

10. [] t = [] -1.

11. [][] t = Е.

12. = ds,t.

13. Строки матрицы [] являются ортонормированным

базисом в R n.

14. Столбцы матрицы [] являются ортонормированным

базисом в пространстве столбцов R п.

15. [] t – матрица ортогонального оператора.

Доказательство. Очевидно, из 1 Þ 2,3,4 (как частные

случаи), 6 Û 8, 7 Û 9 Û 10 Û 11 Û 12 Û 13 Û 15, 4 Û 5 Û 7 Û 14.

Из 2 Þ 1, так как 2(jх,jу)=(jх+jу,jх+jу) - (jх,jx) - (jy,jy)= = |j(х+у)|2 - | jх |2 - | jy |2 =| х+у |2 - | х |2 - | y |2 = 2(х, у).

Из 3 Þ 1, так как (jх, jу) = (j(), j( )) =

== = (, )= (х, у).

Так же проверяется, что из 4 Þ 1.

И наконец, 3 Û 6, так как (jеs, jet) = (, )=

= = .

ÿ

Следствие. Если j - ортогональный оператор, то

det j = ±1.

Доказательство. [] t [] = Е Þ det ( [] t [] ) =

= det [] t× det [] = (det [] )2 = det Е = 1.

Определение. Матрица А называется ортогональной, если А - матрица некоторого ортогонального оператора в ортонормированном базисе, то есть, если для неё выполняется одно из эквивалентных условий Теоремы 1 под номерами 7, 9, 10, 11, 12, 13 или 14.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Следствия. 1. Так как -1£ (х, у) /|x||y|£ 1, то мы можем определить угол g между векторами х и у по формуле: g = arccos | Доказательство. Ортогональная группа
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 261; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.