Доказательство. Ортогональная группа

Ортогональная группа.

Рассмотрим множество О(Еⁿ) ортогональных операторов

на евклидовом пространстве Еⁿ. Пусть также O(n) – множе-

ство ортогональных п´п- матриц, SO(n)= {AÎ О(n)| detA=1},

SО(Еⁿ) = {j Î О(Еⁿ)| detj = 1}.

Теорема 2.

1. О(Еⁿ) – группа, 2. O(n) – группа, 3. О(Еⁿ)» O(n),

4. SО(Еⁿ) – подгруппа в О(Еⁿ), 5. SO(n) – подгруппа в O(n).

1. I. Пусть j, y Î О(Еⁿ) Þ " х, у Î Еⁿ ((jy)х, (jy)у) =

= (j(yх), j(yу)) = (yх,yу) = (х, у) Þ jy Î О(Еⁿ).

II. 1. Как и для любых отображений любых множеств, умножение ортогональных операторов ассоциативно.

2. Очевидно, (idx, idy)=(x, y) " х, у Î Еⁿ, то есть О(Еⁿ)' id – нейтральный элемент.

3. Пусть j Î О(Еⁿ). Тогда j ^-1Î О(Еⁿ) – см. утверждение 2 из п.19.1.

Следовательно, О(Еⁿ) – группа.

2. I. Пусть A, BÎ О(n) Þ A ^t = A ^-1, B ^t = B ^-1 Þ (AB)^t = B ^tA^t= = B^-1A^-1 = (AB)^-1 Þ ABÎ О(n).

II. 1. Нам уже известно, что умножение любых матриц ассоциативно (конечно, если оно определено).

2. Е ^t = Е ^-1 Þ О(n) ' Е – нейтральный элемент.

3. Если AÎ О(n), то | A | = ±1 Þ A^-1 $ Þ (A^-1)^t = (A^t)^t = A = =(A^-1) ^-1Þ A ^-1Î О(n).

Следовательно, О(п) – группа.

3. Очевидно, биекция j ® [] из О(Еⁿ) в О(n) (и - некоторый ортонормированный базис) является изоморфизмом групп (так как [ jy ] = [ j ][ y ], [ j ^-1 ] = [ j ] ^-1, [ id ] = E).

Упражнение. Доказать утверждения 4, 5 из теоремы 2.

Дата добавления: 2014-01-04