Самосопряженные линейные операторы

Определение. Линейный оператор j: Е^п ® Е^п называет-

ся самосопряженным, если j* = j, то есть если " х, у Î Е^п (j х,у) = (х, j у).

Теорема. Для линейного оператора j на Е^п эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого из этих

условий j = j*):

1. (j x, у) = (х, j у) " х, у Î Е^п.

2. (j е_i,е_j)= (е_i,j е_j) " i, j " (для некоторого) базиса е в Е^п.

3. (j и_i,и_j)= (и_i,j и_j) " i, j " (для некоторого) ортонормированного базиса и в Е^п.

4. [] ^t ×= × [], где - матрица Грама для базиса е.

5. [] ^t = [], то есть [] – симметричная матрица.

Доказательство следует из теоремы из п. 20.2.

Дата добавления: 2014-01-04