Теорема 4. Три висоти трикутника або їхні продовження перетинаються в одній точці, яку називають ортоцентром трикутника

Теорема Ейлера. Точка перетину медіан, центр описаного кола та ортоцентр трикутника лежать на одній прямій, причому точка перетину медіан поділяє відрізок, що сполучає ортоцентр і центр описаного кола, у відношенні 2: 1.

Задача. У рівнобедреному трикутнику АВС сторони дорівнюють відповідно АВ = ВР = 5, АС = 6 (рис. 4). Знайти радіус описаного кола, радіус вписаного кола і відстань між їхніми центрами.

Рис. 4

Ø Визначимо спочатку радіус R описаного кола. Візьмемо до уваги, що BD — висота, медіана і бісектриса трикутника АВС. Із трикутника ВВС за теоремою Піфагора визначаємо Центр описаного кола О міститься на BD; ОВ =
= ОС = R; OD = 4 – OB = 4 – R. За теоремою Піфагора для трикут­ника OCD дістанемо OD ² + CD ² = ОС ², тобто (4 — R)² + 3² = = R ². Розв’язавши це рівняння, дістанемо

Знайдемо тепер радіус r уписаного кола. Маємо: BD — бісектриса кута АВС; СО ₁ — бісектриса кута ВСА. Точка О ₁ — центр уписаного кола, O ₁ D = r, ВО ₁ = 4 – r. За теоремою про бісектрису внутріш­нього кута для трикутника ВВС маємо звідки

Обчислюємо відстань між центрами кіл: О ₁ О = О ₁ D – OD = r – – (4 – r) = ×

Теорема Морлі. Якщо в довільному трикутнику кожний кут поділити на три рівні частини, то точки перетинану променів, що поділяють кути цього трикутника (рис. 5, а), є вер­шинами рівностороннього трикутника.

Таку саму властивість мають і точки перетину променів, що поділяють на рівні частини зовнішні кути довільного трикутника (рис. 5, б).

Рис. 5

15.6. Метричні теореми планіметрії.
Формули площі трикутника

Теорема Піфагора. Якщо трикутник прямокутний, то сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи:

а ² + b ² = c ²,

де а = ВC, b = AC, c = АВ (рис. 1).

Рис. 1

Дата добавления: 2014-01-04