Приклад 51

Знайти кут між прямими: і

Розв'язання: Знайдемо направляючі вектори даних прямих: ==(2,0,-1)

==(0,-1,0).

₁∙₂=0. Отже, φ = 90°.

2. Кут між прямою і площиною.

Кутом між прямою і площиною називається гострий кут між прямою і її проекцією на площину.

Позначимо цей кут - φ (рис.28). Нехай пряма а має направляючий вектор =(α,β,γ), а площина задана рівнянням Ах+Ву+Сz+D=0. Тоді кут α між нормальним вектором площини =(А,В,С) і направляючим вектором прямої дорівнює 90°-φ; або 90°+φ, якщо нормальний вектор направлений вниз (рис.28).

Косинус кута між векторами знаходимо із скалярного добутку: cosα=. Враховуючи, що cos(90°- φ)=sinφ, cos(90°+φ)=-sinφ, маємо sinφ= =|cosφ|. Отже, ми отримали формулу для знаходження синуса кута між прямою і площиною:

sinφ== (47).

Приклад 52.

Знайти кут між прямою: і площиною 6x-3y+2z+7=0.

Розв’язання: sinφ==. Отже, φ=arcsin().

3.Відстань від точки до прямої.

Нехай пряма а задана точкою і направляючим вектором =(α,β,γ). Потрібно знайти відстань d від точки до даної прямої a (рис.29).

Відкладемо вектор від точки М. Отримаємо вектор =.

Розглянемо паралелограм . Ясно, що відстань d від точки Mдо даної прямої a дорівнює висоті паралелограма , яку обчислимо, розділивши площу паралелограма на довжину сторони тобто на модуль вектора . Площу паралелограма знайдемо як модуль векторного добутку векторів, які утворюють цей паралелограм:

S=d=//. Знайдемо координати вектора =.

Тоді d=. Перейшовши до координат, маємо: d= (48).

Відмітимо, що відстань d можна знайти і як відстань між двома точками: точкою і її ортогональною проекцією на дану пряму (див. приклад 50).

Дата добавления: 2014-01-04