Упражнения. 1. Доказать, что если группа G коммутативна, то и факторгруппа G / H коммутативна

1. Доказать, что если группа G коммутативна, то и факторгруппа G / H коммутативна.

2. Доказать, что G /{e}» G, G / G» {e}.

Рассмотрим поэлементное произведение смежных классов: g₁H×g₂H = { g₁hg₂h¢ | h, h¢ Î H}. Очевидно, g₁H×g₂H =

= g₁(g₂g₂^-1)Hg₂H = g₁g₂(g₂^-1Hg₂)H = g₁g₂HН = g₁g₂H (легко видеть, что НН = Н, так как НН Í Н, и уже Нe = Н). Кроме того, (gH) ^-1= {(gh) ^-1 | h Î H} = Н ^-1g ^-1= Нg ^-1= (g ^-1g)Hg ^-1=

= g ^-1(gHg ^-1) = g ^-1H (очевидно, Н ^-1 = Н, = eН = Н).

Таким образом, операцию умножения смежных классов на фактормножестве G / H можно определять как операцию поэлементного умножения классов: g₁H×g₂H = g₁g₂H. При таком определении мы тоже получили бы на G / H структу-

ру группы.

Дата добавления: 2014-01-04