Я лекция. 1. Доказать, что Z – бесконечная циклическая (аддитивная)

Упражнения.

1. Доказать, что Z – бесконечная циклическая (аддитивная)

группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.

2. Доказать, что Z_т – конечная циклическая (аддитивная) группа. Найти все возможные образующие элементы этой группы.

3. Найти все подгруппы группы Z.

4. Доказать, что подгруппа циклической группы – цикличе­ская группа.

Пусть g Î G. Рассмотрим отображение j: Z ® G такое, что j(п) = g ⁿ " п Î Z. Очевидно, j - морфизм групп, так как j(т+п) = g ^т+п = g ^т g ^п = j т × j п. Кроме того,

Im j = <g>, Ker j = {n Î Z | g ^п = e }. Если Ker j = { 0 }, то по Теореме о разложении морфизма Im j = <g>» Z / Kerj = = Z / { 0 }» Z, то есть < g > - бесконечная циклическая группа. Если же Ker j ¹ { 0 }, то Ker j = d× Z, Im j = <g>»» Z / Kerj = Z / d× Z » Z_d, то есть < g > - конечная циклическая группа. Следовательно, любая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Z, любая конечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе Z_d.

Литература, использованная при подготовке Курса лекций:

1. Попов А.М. Лекции по линейной алгебре, ч.1.- М.: Изд-во РУДН, 2006

2. Булгаков Д.Н., Попов А.М. Введение в теорию линейных операторов.- М.: Изд-во РУДН, 2003

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1............................................ 3

1. Комбинаторика. Бином Ньютона..................... 3

Лекция 2............................................ 7

2. Комплексные числа................................ 7

Лекция 3............................................ 9

3. Соответствия. Функции. Отношения. Отношение

эквивалентности..................................... 9

Лекция 4........................................... 15

Лекция 5........................................... 18

4. Системы линейных уравнений...................... 18

Лекция 6........................................... 23

Лекция 7........................................... 26

5. Определители.....................................26

Лекция 8........................................... 30

Лекция 9........................................... 34

Лекция 10.......................................... 39

Лекция 11.......................................... 42

6. Группы, кольца, поля.............................. 42

Лекция 12.......................................... 48

Лекция 13.......................................... 56

7. Линейные пространства............................ 56

Лекция 14.......................................... 61

Лекция 15.......................................... 65

Лекция 16.......................................... 70

8. Системы линейных уравнений (продолжение)......... 70

Лекция 17.......................................... 75

Лекция 18.......................................... 79

9. Матрицы........................................ 79

Лекция 19.......................................... 82

Лекция 20.......................................... 86

10. Алгебра многочленов............................. 86

Лекция 21.......................................... 90

Лекция 22.......................................... 95

Лекция 23.......................................... 99

11. Поле рациональных функций...................... 99

Лекция 24.........................................103

12. Прямые суммы подпространств................... 103

13. Линейные отображения.......................... 106

Лекция 25.........................................110

Лекция 26.........................................113

14. Матрица перехода от одного базиса к другому.......113

15. Образ и ядро линейного отображения.............. 117

Лекция 27.........................................119

16. Инвариантные подпространства...................120

Лекция 28.........................................127

17. Диагонализируемые линейные операторы...........130

Лекция 29.........................................133

18. Евклидовы векторные пространства................ 133

Лекция 30.........................................137

19. Ортогональные линейные операторы............... 138

Лекция 31.........................................144

20. Самосопряженные линейные операторы............144

Лекция 32.........................................149

21. Унитарные векторные пространства................149

22. Унитарные линейные операторы...................151

Лекция 33.........................................154

23. Эрмитовы линейные операторы................... 154

Лекция 34.........................................157

24. Билинейные и квадратичные формы............... 157

Лекция 35.........................................163

Лекция 36.........................................168

25. Квадратичные формы в евклидовом пространстве....168

Лекция 37.........................................172

26. Эрмитовы формы............................... 172

Лекция 38.........................................177

27. Эрмитовы формы в унитарном пространстве........ 177

Лекция 39.........................................181

27. Группы........................................181

Лекция 40.........................................186

СТРАНЫ ЕВРОПЫ В НОВОЕ ВРЕМЯ

1654-1667 – Российской-Польско-Литовская война (Война за Малороссию).

1655-1660 – «Шведский потоп» – вторжение шведов в Речь Посполитую.

1657-1687 – Руина – раскол Малороссии между Россией, Речью Посполитой и Османской империей.

1656-1658 – Российско-Шведская война.

1667-1700 – Великая Турецкая война – союз Австрии, Венецианской республики, Мальтийского ордена, Речи Посполитой и Савойи, до 1667 и с 1683 – Правобережного Запорожского войска, с 1668 – России и Левобережного Запорожского войска, в 1673-1674, 1683-1684 – Молдавии, с 1687 – Трансильвании против союза Османской империи, Валахии и Крыма, в 1667-1673, 1674-1683, 1684-1700 – Молдавии, в 1669-1683 – Правобережного Запорожского войска, до 1687 – Трансильвании.

1676-1681 – Российско-Османская (Чигиринская) война.

1683-1699 – Польско-Литовско-Османская война.

1684-1699 – Османо-Венецианская (Морейская) война.

1686-1700 – Российско-Османская война.

1684-1699 – Священная лига – против Османской империи – Венецианская республика, Речь Посполитая и Священная Римская империя, с 1686 – Россия.

Причины: усиление влияния Османской империи в Венгрии и в Малороссии. Итоги: установление гегемонии Австрии, территориальные потери Османской империи.

1689-1807 – движение якобитов в Шотландии.

1700-1721 – Великая Северная война. Северный союз – Россия, до 1701, с 1710 – Дания, до 1705, с 1710 – Речь Посполитая и Саксония. Поддержка Швеции Великобританией.

1701 – Акт о престолонаследии Англии – установление, что только англиканец может править Англией.

1701-1714 – Война за Испанское наследство – союз Баварии, Испании и Франции против союза Арагона, Великобритании, Нидерландов, Португалии, Савойи и Священной Римской империи. Причины: бездетность испанского короля Карла II Околдованного, на чьё наследство претендовали австрийские Габсбурги и Бурбоны. Итоги – Утрехтский мир: признание испанским королём Филиппа Анжжуйского, отказавашегося от права наследования французского престола, переход к Австрии Испанских Нидерландов, Миланского герцогства, Неаполитанского королевства, Президи и Сардинии, переход к Великобритании Гибралтара и Минорки и права монопольной торговли в испанских колониях в Америке, переход к Савойе Монферрата, Сицилии и части Миланского герцогства, переход к Пруссии Верхнего Гелдерна.

1707 – образование Великобритании.

1713 – Прагматическая санкция – закон о престолонаследии в Священной Римской империи Германской нации, по которому императорский престол передлавался, в случае отсутствия у императора сыновей, его дочерям.

1740-1748 – Война за Австрийское наследство – союз Австрии, Великобритании, Ганновера, Нидерландов, Саксонии и Сардинского королевства, в 1747-1748 – России против союза Баварии, Испании, Пруссии, Сицилии, Франции и Швеции.

1740-1742 – I Силезская война.

1741-1743 – Российско-Шведская война.

1744-1748 – II Силезская война.

Причины: чрезмерное усиление дома австрийских Габсбургов. Итоги: гарантия Прагматической санкции, уступка Австрией Испании Гуасталлы, Пармы и Пьяченцы.

1756-1763 – Семилетняя (Померанская, III Силезская) война – союз Австрии, Испании, Неаполитанского королевства, Саксонии, Сардинского королевства, Франции и Швеции, в 1757-1761 – России против союза Бенгальской субы, Брауншвейг-Люнебурга, Великобритании, Ганновера, Гессен-Касселя, Лиги ирокезов, Португалии и Пруссии. Причины: колониальные противоречия между Великобританией и Францией, чрезмерное усиление Пруссии. Итоги – Аахенский мир: укрепление Россией своей гегемонии в Европе, усиление колониальной империи Великобритании путём отнятия у Франции Французской Индии, Сенегала, Восточной Луизианы, Канады, Доминики, Сент-Винсента, Гренады и Тобаго, отнятие Испанией у Франции Западной Луизианы.

II пол. XVIII – XIX вв. – Промышленная революция в Европе. Началась в Великобритании.

1789-1804 – Великая Французская революция.

1796-1815 – Наполеоновские войны.

1804-1814, 1815 – Первая Французская империя.

1808-1814 – I Испанская революция.

1812 – принятие в Испании конституции.

1814-1815 – Венский конгресс – восстановление во Франции и Испании власти Бурбонов, восстановление Королевство Обеих Сицилий во главе с Бурбонами, включение в состав Нидерландов Австрийских Нидерландов, восстановление владений Австрии и Пруссии, передача Пруссии части Саксонии, Вестфалии и Рейнской области, вывод Норвегии из личной унии с Данией, установление такой унии со Швецией, восстановление власти Римского папы над Папской областью, роспуск Рейнского союза и образование Германского союза, преобразование Варшавского герцогства в Польское царство и установление его личной унии с Россией.

1815-1833-1849 – Священный союз – Австрия, Пруссия и Россия, затем все европейские государства, кроме Папской области и Османской империи.

1815 – наделение Польши конституцией.

1818 – Аахенский конгресс – вывод оккупационных войск из Франции, присоединение Франции к Священному союзу, установление системы отношений между Австрией, Великобританией, Пруссией и Россией.

1820-1821 – Сицилийская революция.

1820 – Троппауский конгресс – разрешение Австрии ввести свои войска в Королевство Обеих Сицилий.

1820-1823 – II Испанская революция. Король Фердинанд VII игнорировал конституцию 1812 г., вновь ввёл в стране абсолютистские порядки, вернул монастырям земельную собственность, воз-родил инквизицию. В тюрьмах оказались десятки тысяч людей, обвиненных в политических преступлениях. В ответ на действия монарха усилилась деятельность тайных оппозиционных обществ, начались волнения. В Кадисе вспыхнул мятеж войска, которое должно было быть направлено в Латинскую Америку для расправы с борцами за освобождение от испанского ига. Хотя Фердинанд VII вскоре присягнул конституции, но восставшие не прекратили борьбу.

1820 – I Португальская революция. В Лиссабоне и других городах произошло восстание. Было сформировано временное правительство, созваны Кортесы Королевства Португалия, которые разработали конституцию, признанную королём Иоанном VI. Однако после его смерти новый король Мигел разогнал Кортесы и упразднил конституцию.

1821 – Лайбахский конгресс – установление отменить в Королевстве Обеих Сицилий конституцию, разрешение Австрии и России ввести свои войска в Королевство Обеих Сицилий, убеждение России не оказывать помощь греческому восстанию в Османской империи.

1821 – Пьемонтская революция в Сардинском королевстве.

1821-1832 – Греческая война за независимость (Греческая революция).

1821 – восстание на севере Греции, его подавление.

1821 – восстание на юге Греции.

1822 – создание Национального собрания Греческой республики.

1822-1827 – карательные акции Османской империи и Египта против греков.

1827 – Наваринское морское сражение – разгром Британским, российским и французским флотом османского.

1828-1829 – Российско-Османская война.

1829 – Адрианопольский мир между Османской империей и Россией.

1832 – формирование в Греции конституционной монархии.

1822 – Веронский конгресс – подтверждение запрета работорговли, поддержка Греческой революции, принуждение Нидерландов отказаться от таможенных пошлин на судоходство по Рейну, принуждение Швейцарии выдать Сардинскому королевству сардинских революционеров, разрешение Франции ввести свои войска в Испанию.

1830 – II Французская (Июльская) революция. Свержение режима Реставрации и установление режима Июльской монархии.

1830 – Бельгийская революция. Образование независимой от Нидерландов Бельгии.

1830 – Польская революция.

1833 – восстановление Священного союза договором между Пруссией и Россией.

1834-1843 – III Испанская революция.

1836 – Сентябрьская революция в Португалии.

1848-1852 – III Французская (Февральская) революция. Июльская монархия отвечала интересам лишь финансовой буржуазии, вызывала ненависть крестьянства и рабочих, недовольство промышленной и торговой буржуазии, которая усугублялась неурожайными годами 1840-х гг. и кризисом перепроизводства 1847 г. Луи-Филипп вынужден был отречься от престола. Франция была провозглашена республикой, создано Временное правительство Французской республики и Национальное собрание Французской республики, введено всеобщее избирательное право для мужчин, сокращён рабочий день для рабочих до 10-11 часов, увеличены налоги на земельных собственников. Однако временное правительство оказалось не в состоянии выполнить другие требования рабочих и городской бедноты. Это привело в июне 1848 г. к широкому антиправительственному восстанию рабочих Парижа, которое было жестоко подавлено войсками. Власть была передана президенту Луи Наполеону, который 2 декабря 1851 г. приказал арестовать и бросить в тюрьмы опасных для него политических деятелей, а войскам занять правительствен-ные учреждения. В ответ в ряде городов тысячи сторонников республики вышли на баррикады, однако войска быстро подавили восстание. Революция потерпе-ла поражение.

1852 – провозглашение Луи Наполеона императором Франции Наполеоном III.

1848-1849 – I Германская революция.

1848-1849 – Итальянская революция.

1848-1849 – I война за независимость Италии (Австро-Итальянская война).

1848-1849 – Венгерская революция в Австрии.

1849 – введние в австрийскую Венгрию российских войск

1852-1870 – Вторая Французская империя.

1853-1856 – Восточная (Крымская) война – против России Великобритания, Османская империя, Сардинское королевство и Франция, при поддержке Австрии и Пруссии.

1854-1856 – IV Испанская революция.

1859 – II война за независимость Италии (Австро-Сардино-Французская война).

1861 – образование Итальянского королевства.

1864 – Датско-Австро-Прусская война (Война за Герцогства).

1866-1871 – Северо-Германский союз.

1866 – III война за независимость Италии (Австро-Итало-Прусская война).

1867-1918 – Австро-Венгрия.

1867 – поход Гарибальди на Рим.

1868-1874 – V Испанская революция. Свержение королевы Испании Изабеллы II.

1870-1871 – Франко-Германская война.

1870-1871 – IV Французская революция.

1871-1945 – Германская империя.

1871-1918 – II Рейх.

1878 – Берлинский конгресс.

Дата добавления: 2014-01-04