Лекція 2

Тема: Дійсні числа. Поняття додатного дійсного числа. Від’ємні числа. Множина дійсних чисел, їх упорядкованість. Визначення арифметичних дій над дійсними числами.

фізико-математичних дисциплін

_____________ Н.В.Назаренко

м. Берислав,

2009 р.

Тема лекції: Дійсні числа. Поняття додатного дійсного числа. Від’ємні числа. Множина дійсних чисел, їх упорядкованість. Визначення арифметичних дій над дійсними числами.

Знати:

- означення додатного та від'ємного дійсного числа;

- властивості множини дійсних чисел;

- визначення арифметичних дій над дійсними числами.

Вміти:

- виконувати дії над дійсними числами.

Тип лекції: тематична

Ключові поняття: дійсне число, сума додатніх дійсних чисел, добуток додатніх дійсних чисел.

План

1. Поняття додатнього дійсного числа.

2. Визначення арифметичних дій над дійсними числами.

3. Від’ємні числа. Множина дійсних чисел, їх упорядкованість.

Основна література

1. Кухар В.М., Білий Б.М. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник для педучилищ. – К.: Вища школа, 1987. – 319 c.

2. Стойлова Л.П., Пишкало А.М. Основы начального курса математики: Учеб. пособие для учащихся педучилищ. – М.: Просвещение, 1988. – 320 c.

Структура лекції

1. Вступна частина:

Оголошення теми, мети і завдань лекції.

Ознайомлення з планом лекції, основною та додатковою літературою.

2. Виклад лекційного матеріалу (згідно плану та вимог до лекції).

І. Поняття додатнього дійсного числа.

Дійсні числа = раціональні числа + ірраціональні числа.

Раціональне число можна подати у вигляді звичайного дробу, десяткового дробу, нескінченого періодичного десяткового дробу (чистого і мішаного). Н.: .

Ірраціональні числа – числа, які можна записати у вигляді нескінченого періодичного десяткового неперіодичного дробу. Н.: .

Нехай а – відрізок, довжину якого треба виміряти, е – одиниця довжини.

На практиці цей процес десяткового вимірювання довжини вірізка на якомусь eтапі закінчиться.

В цій ситуації результатом вимірювання довжини відрізка буде або натуральнее число, або скінчений десятковий дріб.

Якщо уявити процес десяткового вимірювання довжини відрізка в ідеалі, то можливі два випадки:

1. На деякому k-му кроці процес вимірювання закінчиться. Тоді довжина відрізка а виразиться скінченим десятковим дробом виду n,nn...n.
2. Процес вимірювання довжини відрізка нескічений. Тоді довжина відрізка а виразиться нескінченим десятковим дробом виду n,nn...n…

Отже, в процесі десяткового вимірювання довжин відрізків можуть отримуватись нескінчені десяткові дроби. Чи завжди ці дроби періодичні? Hi

Покажемо, якщо за одиницю довжини взяти сторону квадрата, то довжина діагоналі цього квадрата не може бути виражена додатнім раціональним числом.

Припустимо, що довжина діагоналі а квадрата зi стороною е виражається нескорочуваним дробом .

За теоремою Піфагора , або , або .

Звідси , тобто m – парне число, наприклад m = 2k. Тоді 4k= n, або 2k= n. Отже, n – парне число. Наприклад, n = 2р. Отримали, що чисельник і знаменник дробу - парні числа. Це суперечить тому, що дріб - нескоро чуваний.

Отже, при десятковому вимірюванні довжин відрізків можуть отримуватись нескінченні десяткові неперіодичні дроби, вони є записом нових чисел – додатних ірраціональних чисел.

- ірраціональні числа. Позначаються: I

Таким чином:

R= QI

ІІ. Визначення арифметичних дій над дійсними числами.

Означення. Сумою додатих дійсних чисел a i b називається таке число а + b, яке задовольняє наступну нерівність:≤ <

1,4142 ≤ < 1,4143

1,7320 ≤ < 1,7321

3,1462 ≤ + < 3,1464

Означения. Добутком додатних дійсних чисел a i b називається число а · в, яке задовольняє умову ≤ < .

1,41 ≤ < 1,41

1,73 ≤ < 1,73

2,4393 ≤ · < 2,4708

· = 2,4

Для будь-яких додатних дійсних чисел виконуються рівності:

1) а + b = b + а

2) (а + b) + с = а + (b + с)

3) а · b = b · а

4) (а · b) · с = а · (b · с)

5) (а + b) · с = а · с + b · с

ІІІ. Від’ємні числа. Множина дійсних чисел, їх упорядкованість.