Лекція №3

Тема: Основні властивості z-перетворення, передаточна функція

розімкнутої та замкнутої імпульсної системи

Розглянемо основні властивості z-перетворення стосовно незміщених решітчастих функцій. Ці ж властивості є справедливими також для зміщених функцій .

1. Властивість лінійності. Зображення лінійної комбінації решіт­частих функцій дорівнює такій самій лінійній комбінації їх зобра­жень. Якщо решітчаста функція має вигляд

то її зображення

2. Запізнювання і випередження (зсув за часом на ціле число пе­ріодів). Для решітчастої функції, зсунутої праворуч (запізнюючої) на періодів,

де – зображення функції

Для решітчастої функції, зсунутої ліворуч (випереджуючої) на періодів,

(11)

Якщопри , то

3. Множення оригіналу на експоненту . Зображення незміщеної решітчастої функції

де , а зміщеної

4. Зображення різниць (аналог зображення похідної). Для різниці к-го порядку маємо

звідки для першої різниці

для другої

Якщо початкові умови нульові, тобто при функція та її різниці до (к -1) включно дорівнюють нулю, то

5. Зображення суми (аналог зображення інтеграла). Зображення суми

6. Початкове значення решітчастої функції. При

7. Кінцеве значення решітчастої функції. При значення ре­шітчастої функції обчислюється за формулою

8. Згортка решітчастих функцій. Якщо

то

9. Зображення функції

10. Розв'язування різницевих рівнянь. Послідовність розв'язування різницевих рівнянь методом z-перетворення аналогічна послідовно­сті розв'язування диференціальних рівнянь при використанні пере­творення Лапласа безперервних функцій. Спочатку треба перейти від різницевих рівнянь відносно оригіналів до алгебричних рівнянь відносно їх z-зображень, потім визначити z-зображення шуканої функції, розв'язавши знайдене алгебричне рівняння, і нарешті пере­йти від z-зображення до оригіналу – шуканої решітчастої функції.

Нехай, наприклад, різницеве рівняння має вигляд (6)

Розв'яжемо це рівняння за початкових умов

За функцією-оригіналом визначимо Позначимопотім, з урахуванням виразу (11), визначимо z-перетворення лівої частини рівняння (6) і подамо його у вигляді

(12)

де – характеристичний поліном;– поліном, коефіцієнти якого залежать від початкових умов. Для нульових початкових умов,

З виразу (12) знаходимо зображення шуканої функції

і переходимо до оригіналу

Для переходу до оригіналу зображення доцільно подати у вигляді суми простих дробів, для яких оригінали можна знайти в таблицях z-перетворень функцій часу, і записати оригінал як суму оригіналів, що відповідають простим дробам.

Значення функції в дискретних точках можна обчислити без знаходження аналітичного виразу для неї, якщо розкласти зображен­ня Y(z) в ряд Лорана:

(13)

З формули (10) дістаємо

(14)

З порівняння рядів (13) і (14) випливає, що і т. д.

Найзручнішим способом розкладання в ряд Лорана дрібнораціональних функцій є ділення чисельника на знаменник.

Приклад. За відомим z-перетворенням

визначити оригінал .

Розв'язання. Розкладемо на суму простих дробів. Для цього визначимо корені рівняння Маємо тоді

3 таблиці z-перетворень знаходимо, що доданку відповідає оригінал , де тобто оригінал має вигляд . Аналогічно доданку відповідає оригінал . Отже, шукана решітчаста функція має вигляд

Звідси знайдемо дискретні значення функції і т. д.

Визначимо тепер дискретні значення функції , розклавши зо­браження в ряд Лорана діленням чисельника на знаменник:

Отримаємо,

Передаточна функція розімкнутої імпульсної системи

Під час дослідження імпульсних систем зовнішня дія переноситься на вхід імпульсного елемента за правилом перенесення суматорів у безперервних системах, реальний імпульсний елемент подається у вигляді послідовного з'єднання іде­ального імпульсного елемента і формувача (див. п.10.3). Отже, струк­турна схема зводиться до вигляду, (рис. а)

де – передаточні функції формувача і безперервної части­ни системи.

Формувач об'єднується з безперервною частиною системи в одну приведену безперервну частину з передаточною функцією

Структурна схема такої розімкнутої імпульсної системи має ви­гляд, (рис. б).

Зірочка в індексі означає, що сигнал дискретний, тобто становить послідовність миттєвих імпульсів.

Щоб визначити дискретну передаточну функцію розімкнутої си­стеми, що складається з послідовно з'єднаних імпульсного елемента і безперервної частини, треба знайти передаточну функцію приведе­ної безперервної частини, а потім її z-зображення:

(15)

При нульових початкових умовах передаточні функції і формально збігаються і , тому надалі при виконан­ні z-перетворень використовується співвідношення і

Передаточна функція залежить від форми імпульсів на ви­ході імпульсного елемента через те, що , а визначається формою імпульсів. Найчастіше використовуються ім­пульсні елементи, що генерують короткі прямокутні імпульси, висо­та яких дорівнює значенню , а тривалість становить , де

Під час визначення дискретної передаточної функції розімкнутої системи слід враховувати відмінність у визначенні дискретних і без­перервних передаточних функцій послідовно з'єднаних ланок. Для безперервних систем передаточна функція послідовно з'єднаних ланок дорівнює добутку передаточних функцій цих ланок. Для ім­пульсних систем з одним імпульсним елементом на вході це правило не є справедливим, тобто

Для визначення дискретної передаточної функції необхідно спочатку знайти

а потім здійснити z-перетворення

Проте в тому разі, коли кожна з послідовно з'єднаних ланок має на вході свій імпульсний елемент, загальну передаточну функцію можна знайти як добуток дискретних передаточних функцій, визна­чених для кожної ланки з власним імпульсним елементом, тобто

де – передаточна функція дискретного фільтра, тобто добуток передаточних функцій ланки і формувача імпульсного елемента цієї ланки.

При паралельному з'єднанні ланок дискретну передаточну функ­цію можна визначити як суму дискретних передаточних функ­цій, що знайдені для кожної ланки окремо:

Приклад. Визначити дискретну передаточну функцію розімкнутої імпульсної системи, якщо передаточна функція безперерв­ної частини

а імпульсний елемент генерує короткі прямокутні імпульси з періодом повторення . При розрахунку прийняти:

Розв'язання.

Передаточну функцію подамо у вигляді суми простих дро­бів. Рівняння має один нульовий корінь і два дійсні: ; тому

де

Отже,

За даними табл. 10.1 із урахуванням властивості лінійності дістаємо

де

Після виконання необхідних перетворень остаточно маємо

Передаточна функція замкнутої імпульсної системи

Розглянемо імпульсну систему, структурна схема якої:

Вважатимемо, що передаточну функцію розімкнутої системи визначено і в загальному випадку вона становить . Тоді z-зображення вихідної ве­личини

(16)

Зображення похибки прийнято у вигляді , тому що ім­пульсний елемент реагує на похибку тільки в дискретні моменти часу , тобто при

Зображення похибки можна подати як різницю зображень задавальної дії і вихідної величини :

Через те, що , маємо

і

(17)

Підставивши (17) у (16), дістанемо

звідки знайдемо передаточну функцію замкнутої системи

(18)

Для незміщених дискретних функцій

Передаточна функція замкнутої системи за похибкою записуєть­ся так:

(19)

Передаточні функції , , можуть використовувати­ся для оцінки стійкості та якості імпульсних систем.

Формулами (18)-(19) можна користуватися лише у разі, коли вагова функція дорівнює нулю в момент t = 0. Для цього в сис­темах з нескінченно короткими імпульсами у вигляді -функцій по­трібно, щоб степінь полінома чисельника передаточної функції без­перервної частини був меншим степеня полінома знаменника принаймні на два. Якщо степінь полінома знаменника дорівнює сте­пеню полінома чисельника або більший від нього лише на одиницю, то передаточна функція має розрив при тобто . В таких випадках у дискретних передаточних функціях замкнутих систем необхідно використовувати функцію або функцію , що їй дорівнює.

В усіх інших випадках

Отже, для замкнутої системи з одиничним зворотним зв'язком (рис. а) за будь-яких умов справедливими є формули

і

Якщо зворотний зв'язок не одиничний (рис), то

і

де

Дата добавления: 2014-01-04