Визначення частотних характеристик об’єкту заданого диференціальним рівнянням (час змінюється неперервно)

Лекція №5. Прилади та вимірювальні схеми для визначення частотних характеристик

Вступ

§1. Частотний (прямий метод) метод визначення частотних характеристик об’єкту.

Раніше встановлено, що частотна характеристика динамічного об’єкту визначається як відношення спектру (перетворення Фур’є) вихідного сигналу до вхідного сигналу. Це дозволяє визначити спектр вихідного сигналу по вхідному. Тому важливо знати частотну характеристику об’єкту. Розглянемо експериментальний спосіб знаходження цієї характеристики.

Для фіксованої частоти має місце співвідношення

,

де − амплітуди вхідного та вихідного синусоїдальних сигналів відповідно; − зсув фази вихідного сигналу відносно вхідного. Звідси має місце простий алгоритм експериментального визначення частотної характеристики лінійного динамічного об’єкту або системи керування для конкретної частоти:

1) Подати на вхід об’єкту синусоїдальний сигнал частоти та сталої амплітуди А.

2) Дочекатись затухання вільної складової перехідного процесу й усталеного значення вихідного сигналу.

3) Виміряти амплітуду вихідного сигналу та зсув його по фазі відносно вхідного сигналу.

4) Відношення амплітуди вихідного усталеного сигналу до амплітуди вхідного сигналу визначить модуль частотної характеристики на частоті.

5) Зсув фази вихідного сигналу відносно вхідного визначить кут (аргумент) частотної характеристики на частоті. Отримуємо

.

Застосовуючи даний алгоритм для частот від нуля до нескінченності, можна експериментальним шляхом визначити частотну характеристику конкретного об’єкту. Структурна схема експериментальної установки для отримання частотних характеристик має вид

Рис.1.

На основі рис.1 можна побудувати на комплексній площині точку, яка належить частотній характеристиці об’єкту, а сукупність точок при зміні частоти від нуля до величини, коли амплітуда вихідного усталеного сигналу стане настільки малою, що нею можна нехтувати, буде представляти собою амплітудно-фазову частотну характеристику (АФЧХ) об’єкту (Рис.2).

На рис.2 прийнято такі позначення:

	(1)

Рис.2.

Приклад 1. Визначити вираз частотної характеристики по заданій передатній функції об’єкту

.

Розв’язання. Замінюємо у виразі та відокремлюємо дійсну й уявну частини. Для цього звільняємось від уявної одиниці у знаменнику, помноживши чисельник та знаменник на величину спряжену до знаменника. Отримуємо

Звідки

Нижче представлено АФЧХ та годограф ЧХ об’єкту із такою передатною функцією.

Рис.3. Годограф функції.

Нехай лінійний стаціонарний об’єкт визначається диференціальним рівнянням виду:

(2)

де коефіцієнти − сталі, задані числа;

− вхідний та вихідний сигнали відповідно.

Приймемо, що початкові умови для (2) є нульовими:

Застосуємо до (2) перетворення Лапласу, отримаємо операторну форму цього рівняння

(3)

або

де

Функція

(4)

називається передатною функцією об’єкту. Якщо у (4) зробити підстановку, то отримаємо частотну характеристику об’єкту

(5)

Величина називається коефіцієнтом підсилення системи.

Функцію представимо у виді

(6)

де − відповідно дійсна та уявна частини функції.

По знайденій функції (6) за формулами (1) обчислюємо АФЧХ системи та будуємо їх графіки.

Приклад 2. Знайти частотні характеристики системи, яка визначається диференціальним рівнянням

із нульовими початковими умовами:

Розв’язок.

У нашому випадку Записуємо оператори лівої та правої частин:

Складаємо передатну функцію

Записуємо частотну характеристику

Помножимо знаменник та чисельник на величину спряжену знаменнику:

Після спрощень

Таким чином:

Звідки

Коефіцієнт підсилювання Із зростанням На рис.4 представлені відповідні графіки.

Зауваження. На практиці для застосування чисельних методів розв’язання диференціального рівняння -го порядку (2) переходять від нього до еквівалентної системи диференціальних рівнянь першого порядку відносно невідомих:

(7)

де

Передатна функція для системи диференціальних рівнянь (7) обраховується так

(8)

де – одинична матриця -го порядку.

Приклад 3. Скласти матриці та обрахувати для рівняння у прикладі 2.

Розвязування. Запишемо коефіцієнти

Далі обрахунки по Mathcad

Таким чином

тобто як і повинно бути

Дата добавления: 2014-01-04