Условия существования локального экстремума функции

Необходимое условие существования экстремума функции
Т-2	Если функции дифференцируема в точке и имеет в этой точке экстремум, то
Достаточные условия существования локального экстремума функции с помощью производной первого порядка
Т-3	Пусть функции непрерывна в некоторой окрестности критической точки и дифференцируема во всех точках этой окрестности, (за исключением, быть может, самой точки ). Если при переходе аргумента слева направо через эту точку производнаяменяет знак, то в точке функция имеет экстремум. При этом если производная меняет знак с минуса на плюс, то , если же с плюса на минус, то
Достаточные условия существования локального экстремума функции с помощью производных высших порядков
Т-4	Пусть функция является раз дифференцируемой в точке , причем все производные до -го порядка в этой точке равны нулю: , а . Тогда · если– четное число, то в точкефункция имеет экстремум, причем при, а при; · если– нечетное число, то экстремума в точкенет.
Следствие (Достаточные условия существования локального экстремума функции с помощью производных второго порядка)
С-1	Если является стационарной точкой функции , т.е. , а существует, конечна и не равна нулю, то при , а при .

Алгоритм исследования функции на локальный экстремум
1-й способ	1) Найти критические точки функции и выбрать среди них те, которые являются внутренними точками области определения функции; 2) исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных критических точек: а) если производная меняет знак с минуса на плюс, то в критической точке локальный минимум, б) если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной критической точке локальный максимум; 3) выписать точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках.
2-й способ	1) Найти стационарные точки функции , т.е. такие точки, в которых производная равна нулю, и выбрать среди них те, которые являются внутренними точками области определения функции; 2) вычислить в выбранных точках производную второго порядка ; 3) рассмотреть случаи: а) если , то в этой точке функция принимает наибольшее значение, т.е., б) если , то в этой точке функция принимает наименьшее значение, т.е. .
3-й способ	1) Найти критические точки функции и выбрать среди них те, которые являются внутренними точками области определения функции; 2) вычислять производные в выбранных точках до тех пор, пока ни получится ненулевая производную -го порядка; 3) рассмотреть случаи: а) если – четное число, то в точке функция имеет экстремум, причем при , а при ; б) если – нечетное число, то экстремума нет.

Дата добавления: 2014-01-04