Дотична площина та нормаль. Якщо функція диференційовна в точці , то виконується рівність

Якщо функція диференційовна в точці, то виконується рівність

або

Узявши в цій наближеній рівності,, дістанемо:

(5.3).

На формулі (5.3) ґрунтується алгоритм використання диференціала для наближених обчислень.

Крім того, якщо в рівності (5.3) взяти,, дістанемо

Це рівняння дотичної площини, що проходить через точку.

Якщо поверхню задано у просторі рівнянням, то рівняння дотичної площини до поверхні в точці має вигляд:

, (5.4)

де,,.

Нормаль до поверхні в точці — це пряма, що проходить через точку і перпендикулярна до дотичної площини. Отже, її рівняння.

6. Похідна за напрямом. Градієнт

Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки; — деякий промінь з початком у точці; — точка на цьому промені, яка належить околу, що розглядається (рис. 5.19); — довжина відрізка. Границя, якщо вона існує, називається похідною функції за напрямом у точці і позначається.

Зокрема, є похідна функції за додатним напрямом осі Ох, а — похідна функції за додатним напрямом осі Оу.

Теорема 6. Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, тоді в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом, причому

,

де і — значення частинних похідних функції у точці.

Означення. Вектор з координатами, який характеризує напрям максимального зростання функції у точці, називається градієнтом функції у цій точці і позначається (— одиничні орти):

Аналогічно для функції трьох змінних похідна за напрямом подається у вигляді:

Для функції трьох змінних градієнт у точці визначається так:

де — одиничні орти і обчислені в точці.

Похідна за напрямом функції та градієнт пов’язані співвідношенням

7. Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків

Нехай функція має частинні похідні в усіх точках множини. Візьмемо будь-яку точку; у цій точці існують частинні похідні і, які залежать від і, тобто вони є функції двох змінних. Отже, можна ставити питання про знаходження їхніх частинних похідних. Якщо вони існують, то називаються похідними другого порядку і позначаються так:

або, або,

або, або.

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього і вищих порядків, наприклад:

,.

Означення. Диференціалом другого порядку від функції називається диференціал від її повного диференціала першого порядку, тобто.

Аналогічно визначаються диференціали третього і вищих порядків

..........

Теорема 7. Якщо функція визначена в області D і в цій області існують перші похідні та, а та-
кож другі мішані похідні,, які до того ж як функції від х і у неперервні в точці, то в цій точці.

8. Похідна неявної функції

Якщо існує неперервна функція однієї змінної, така що відповідні пари задовольняють умову, тоді ця умова називається неявною формою функції, а сама функція називається неявною функцією, яка задовольняє умову.

Припустимо, що неперервна функція задана в неявній формі і що. Похідну обчислюємо за формулою

,.

9. Економічний зміст частинних похідних

Аналогічно поняттю еластичності функції однієї змінної ми можемо ввести поняття частинних еластичностей функції двох змінних.

Припустимо, що функції і виражають попит на товари і, який залежить від ціни на ці товари. Частинні еластичності попиту відносно цін і подаються у вигляді:

,,

,.

Частинна еластичність попиту на товар відносно ціни товару приблизно означає відсоток підвищення (або зниження) попиту на товар, якщо ціна товару зростає на 1%, а товару залишається незмінною.

Частинна еластичність попиту на товар відносно ціни товару приблизно означає відсоток підвищення (або зниження) попиту на товар, якщо ціна товару зростає на 1%, а товару залишається без змін, і т. ін.

Дата добавления: 2014-01-04