Лекция. Погрешности измерений (продолжение)

Содержание лекции:

- оценка и учет погрешностей при точных и технических измерениях, аксиомы случайности и распределения; вероятностные оценки погрешности результата измерений на основании ряда наблюдений, методы повышения точности измерений и средств измерений.

Цель лекции:

- изучить вероятностные оценки погрешности результата измерений на основании ряда наблюдений: доверительные границы, доверительный интервал и доверительная вероятность; методы уменьшения случайных и систематических погрешностей измерений, методы повышения точности СИ.

4.1 Оценка и учет погрешностей при точных измерениях

Точные измерения должны проводиться так, чтобы не было систематических погрешностей. Теория случайных погрешностей базируется на двух аксиомах, основывающихся на опытных данных.

Аксиома случайности: при очень большом числе измерений случайные погрешности, равные по величине, но разные по знаку, встречаются одинаково часто: число отрицательных погрешностей равно числу положительных.

Аксиома распределения: малые погрешности случаются чаще, чем большие; очень большие погрешности не встречаются.

Полным описанием случайной величины, а следовательно и случайной погрешности, является закон распределения. Существуют различные законы распределения случайной величины. В практике измерений наиболее распространенными законами распределения случайных погрешностей являются нормальный и равномерный законы распределения.

4.1.1 Вероятностные оценки погрешности результата измерений на основании ряда наблюдений

Цель обработки результатов наблюдений – это установление действительного значения измеряемой величины, которое может быть принято вместо истинного значения измеряемой величины, и степени близости действительного значения к истинному.

Действительное значение неизбежно содержит случайную погрешность. Поэтому степень близости действительного значения к истинному значению нужно оценивать с позиции теории вероятности. Такой оценкой является доверительный интервал. Доверительный интервал случайной погрешности – это интервал, в который с заданной доверительной вероятностью попадают значения случайной погрешности. Доверительный интервал может быть установлен, если известны закон распределения случайной погрешности и характеристики этого закона (лекция 3). Согласно ГОСТ 8.011 – 72, доверительный интервал – одна из основных форм выражения точности измерений. ГОСТ устанавливает следующую форму представления результата измерения

, (4.1)

где – результат измерения (среднее арифметическое значение);

D, Dн, Dк – абсолютная погрешность измерения с нижней и верхней границами;

Р – доверительная вероятность, с которой погрешность находится в этих границах.

В теории вероятностей доказано, что для нормального закона распределения случайной погрешности, величина есть случайная величина , распределенная по нормальному закону с МО = 0 и Д = 1; а величина есть случайная величина , распределенная по закону Стьюдента. Для и существуют таблицы, по которым можно найти их значения, определяющие с доверительной вероятностью Р границы доверительного интервала Dн, Dк для и соответственно.

При , S à s, т.е. с увеличением числа наблюдений закон распределения Стьюдента приближается к нормальному. (Практически уже при n > 30 становится равным ).

В практике измерений применяют различные значения доверительной вероятности Р = 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973 и 0,999.

При нормальном законе распределения случайной погрешности часто пользуются доверительным интервалом от +3s до -3 s с доверительной вероятностью 0,9973. Данная доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна будет превышать значение = 3 s. Так как на практике число отдельных измерений редко больше нескольких десятков, то применяется «закон трех сигм»: все возможные случайные погрешности измерения, распределенные по нормальному закону, практически не превышают по абсолютному значению 3 s.

Конечная цель анализа выполненных измерений состоит в определении погрешности результата наблюдения ряда значений измеряемой величины , погрешности их среднего арифметического значения, принимаемого за окончательный результат измерения, относительной частоты погрешностей и вероятности.

4.1.1.1 Оценка погрешности (точности) результата наблюдения

Оценкой точности результата наблюдения служит среднее квадратическое отклонение результата наблюдения - (лекция 3). Для получения полного представления о точности и надежности оценки случайного отклонения результата наблюдения должны быть указаны доверительные границы, доверительный интервал и доверительная вероятность. При известном доверительные границы указываются следующим образом: нижняя граница (-), верхняя граница (+) (сокращенно ), за пределы которых с вероятностью Р=0,683 (или 68,3%) не выйдут значения случайных отклонений (). Доверительный интервал выражается в виде . В зависимости от целей измерения могут задаваться и другие доверительные границы , а доверительный интервал погрешности результата наблюдений

, (4.1) где - среднее квадратическое отклонение результата наблюдения;

- квантильный множитель, значение которого зависит от выбранного закона распределения случайной погрешности.

Так для равномерного закона распределения и не зависит от доверительной вероятности. Для нормального закона распределения зависит от значения доверительной вероятности (Р) и количества выборочных значений (n): значения = при n > 30; = при n < 30 (закон Стьюдента). Значения для наиболее употребительных доверительных вероятностей Р и различных n приведены в [10, Табл.П1-4-1].

4.1.1.2 Оценка погрешности (точности) результата измерения

Результат измерения принимается равным среднему арифметическому значению . Согласно теории погрешностей, оценка среднего квадратического отклонения результата измерения в раз меньше оценки среднего квадратического отклонения результата наблюдений

. (4.2)

Доверительный интервал погрешности результата измерений

, (4.3)

где - имеет тот же смысл, что в формуле (4.1);

- среднее квадратическое отклонение результата измерения.

4.2 Оценка и учет погрешностей при технических измерениях

Технические измерения – измерения практически постоянных величин, выполняемых однократно с помощью рабочих средств измерений (лекция 2). Случайные погрешности в большинстве случаев не являются определяющими точность измерения, поэтому отпадает необходимость многократных измерений. За результат однократного измерения принимают показания средства измерения. Результирующая погрешность однократного измерения при применении измерительного показывающего прибора прямого действия может быть оценена приближенной максимальной (или предельной) погрешностью, определяемой по формуле

, (4.4)

где - пределы допускаемой основной погрешности применяемого измерительного прибора при его эксплуатации в нормальной области значений влияющих величин (НУ), %; - методическая погрешность, %; - пределы допускаемых дополнительных погрешностей измерительного прибора, %, определяемые отклонением влияющих величин за пределы, установленные для их нормальных значений или для нормальной области значений, согласно формуле

, (4.5)

где - значение предела допускаемой дополнительной погрешности СИ, вызванное отклонением i-ой влияющей величины, %.

Чтобы точность технических измерений определялась только значением , необходимо исключить и . Для этого нужно обеспечить правильную и тщательную установку СИ, создать условия работы, близкие к НУ.

4.3 Методы повышения точности измерений и средств измерений

4.3.1 Методы уменьшения случайной погрешности измерений:

а) метод многократных измерений; увеличивая число измерений , теоретически можно сделать оценку , согласно (4.2), которая определяет собой случайную погрешность, сколь угодно малой;

б) метод многоканальных измерений (использование параллельных измерений одной и той же физической величины); для этого необходимо использовать сразу несколько СИ и результаты наблюдений обрабатывать совместно.

4.3.2 Методы уменьшения систематической погрешности измерений:

а) устранение источников систематической погрешности до начала измерений;

б) методы исключения систематических погрешностей путем введения поправок по окончании измерений;

в) использование более точных СИ.

4.3.3 Методы повышения точности СИ: используются рассмотренные выше методы увеличения точности измерений: а) метод многократных измерений; б) метод многоканальных измерений;

в) метод параметрической стабилизации (конструкторско-технологический метод), который состоит в стабилизации статической характеристики СИ; параметрическая стабилизация реализуется путем изготовления СИ из точных и стабильных элементов, термостабилизации, экранировки СИ от магнитных и электрических полей и т.п.; данный метод уменьшает систематическую и случайную погрешности СИ;

г) структурные методы, которые основаны на том, что в состав СИ включаются дополнительные узлы, элементы и меры, обеспечивающие повышение точности этих СИ за счет информации, полученной с их помощью.

Дополнительную информацию по теме можно получить в [1-7,11-14,15].

Дата добавления: 2014-01-04