Означення випадкового процесу. Класифікація випадкових процесів

Основні поняття теорії випадкових процесів

Поняття випадкового процесу та класифікація випадкових процесів

Тема: Поняття випадкового процесу та класифікація випадкових процесів. Закони розподілу й основні характеристики. Потік подій та його властивості.

Лекція № 9

Питання лекції:

1. Поняття випадкового процесу та класифікація випадкових процесів.

2. Закони розподілу та основні характеристики випадкових процесів.

3. Потік подій та його властивості.

Теорією випадкових процесів (в. п.) називається математична наука, яка вивчає закономірності випадкових явищ в динаміці їх розвитку. Випадкові процеси описують багато фізичних, економічних та виробничих явищ. До них належать броунівський рух дрібної частинки, який виникає внаслідок взаємодії частинки з молекулами рідини, коливання валютних курсів, курсів акцій, ціни на певний товар, сподівана вартість грошей, банківські активи, довжина черг та кількість заявок на обслуговування в кожний момент часу з деякого проміжку часу в різних системах надання послуг тощо.

Поняття випадкового процесу є узагальненням поняття випадкової величини.

Розглянемо деяку числову множину , елементи якої позначатимемо через і будемо вважати їх моментами часу.

Означення. Випадковим процесом називається функція , , значення якої при будь-якому фіксованому є випадковою величиною .

Випадкову величину , в яку перетворюється випадковий процес при , називається перерізом випадкового процесу, що відповідає даному значенню аргумента . Надалі, розглядаючи переріз випадкового процесу, ми не завжди відзначатимемо нульовим індексом те значення аргумента , якому воно відповідає, а будемо інтерпретувати один і той же вираз або як випадковий процес (при змінному ), або як випадкову величину (при фіксованому ).

Якщо розглянути не один переріз випадкового процесу, а ряд перерізів в точках , то отримаємо -вимірний випадковий вектор , який описує випадковий процес лише в деякому наближенні. Сукупність всіх перерізів при всеможливих і є випадковий процес . Отже, випадковий процес представляє не що інше, як сім’ю випадкових величин – всіх перерізів цього процесу.

Аналогічно до того, як ми записували випадкову величину у вигляді функції від елементарної події, яка є результатом досліду (стохастичного експерименту), можна і випадковий процес записати у вигляді функції від двох аргументів – часу та елементарної події :

, (1)

де – елементарна подія, – простір елементарних подій, – область (множина) значень аргумента функції .

Якщо – фіксоване, то , що розглядається як функція , , називається реалізацією або траєкторією випадкового процесу .

Означення. Реалізацією випадкового процесу називається невипадкова функція , в яку перетворюється випадковий процес внаслідок проведеного досліду.

Користуючись формулою (1), для можна записати рівність

. (2)

Якщо здійснити не один дослід, а декілька, внаслідок кожного з яких спостерігається реалізація випадкового процесу (– номер досліду), то отримаємо декілька реалізацій випадкового процесу: (– кількість проведених дослідів) або сім’ю реалізацій.

Сім’я реалізацій випадкового процесу – основний емпіричний матеріал, на підставі якого можна оцінити характеристики випадкового процесу (про них йтиме мова в наступному підрозділі). Сім’я реалізацій випадкового процесу аналогічна сукупності спостережуваних значень випадкової величини , з тією різницею, що тут спостерігаються не числові значення, а функції.

Далі нам доведеться мати справу із системами різноманітної природи, зокрема, з економічними та фінансовими. Випадковий процес, який відбувається у системі , полягає в тому, що з плином часу система у випадковий спосіб змінює свій стан. Якщо система в момент описується однією скалярною випадковою величиною , то ми маємо справу зі скалярним випадковим процесом . Якщо стан системи в момент описується декількома випадковими величинами , то ми маємо справу з векторним випадковим процесом з складовими: .

В теорії випадкових процесів прийнято класифікувати їх за тими або іншими ознаками, враховуючи плавність або стрибкоподібність реалізації, фіксованість або випадковість моментів, в які можуть відбуватися стрибки, вигляд закону розподілу окремого перерізу або сукупності його перерізів і т. д. Ознайомимося з найелементарнішою класифікацією випадкових процесів – «за часом» і «за станами».

Означення. Випадковий процес називається процесом з дискретним часом, якщо система , в якій він відбувається, може змінювати свої стани тільки у визначені, наперед відомі моменти часу , які називаються кроками (або етапами) цього процесу. Множина є скінченною або зліченною.

У проміжках часу між сусідніми кроками система зберігає свої стани. Не виключається можливість, що на деяких кроках система не змінить свого стану.

Випадковий процес з дискретним часом називається також випадковою послідовністю. Якщо стан системи описується одною випадковою величиною , то випадковий процес представляє послідовність випадкових величин . В якості аргумента послідовності можна вибрати значення номера моменту переходу . Тоді випадковий процес можна представити у вигляді послідовності випадкових величин .

Означення. Випадковий прогрес називається процесом з неперервним часом, якщо система , в якій він відбувається, може змінювати свої стани в будь-які, випадкові моменти часу, що неперервно заповнюють вісь (або її ділянку). Множина є нескінченною та незліченною.

Означення. Випадковий процес , який відбувається в системі , називається процесом з дискретними станами, якщо в будь-який момент часу множина його станів є скінченною або зліченною; іншими словами, якщо його переріз в будь-який момент характеризується дискретною випадковою величиною – в одновимірному випадку та векторною дискретною випадковою величиною – в багатовимірному випадку.

Зауважимо, що всі випадкові процеси з «якісними» станами відносяться до категорії процесів з дискретними станами; перерізом такого процесу є випадкова подія – аналог дискретної випадкової величини.

Означення. Випадковий процес, який відбувається в системі , називається процесом з неперервними станами, якщо множина можливих станів системи незліченна; іншими словами, якщо переріз процесу в будь-який момент часу характеризується неперервною (або змішаною) випадковою величиною – в одновимірному випадку та векторною неперервною (або змішаною) випадковою величиною – в багатовимірному випадку.

За вищевказаними ознаками випадкові процеси можна поділити на чотири класи:

А1. Процеси з дискретними станами та дискретним часом.

А2. Процеси з дискретними станами та неперервним часом.

Б1. Процеси з неперервними станами та дискретним часом.

Б2. Процеси з неперервними станами та неперервним часом.

Приклад процесу типу А1: Особа купила білетів виграшного займу, які можуть вигравати та погашатися в завчасно відомі моменти часу (тиражі) . Випадковий процес – число білетів, на які припав виграш до моменту .

Приклад процесу типу А2: технічний прилад складається з вузлів, які можуть в ході роботи приладу відмовляти (виходити з ладу). Випадковий процес – кількість вузлів, що відмовили до моменту .

Приклад процесу типу Б1: у певні моменти часу реєструється температура повітря у заданій точці простору. Послідовність значень цієї величини – випадковий процес з неперервними станами та дискретним часом.

Приклад процесу типу Б2: у мікроскоп протягом проміжку часу спостерігається переміщення малої частинки в рідині, яка здійснює броунівський рух. Координата частинки в момент – випадковий процес з неперервними станами та неперервним часом.

Дата добавления: 2014-01-04