Доказательство. Рассмотрим следующие события:

Доказательство.

Рассмотрим следующие события:

A «(X<b) - попадание случайной величины левее значения b;

B «(X<a) - попадание случайной величины левее значения a;

C «(a £ X<b) - попадание случайной величины в полуинтервал [a,b).

События B,C - несовместны, при этом A=B+C.

Очевидны следующие соотношения:

P(A)=P(X<b)= F(b); P(B)= P(X<a) = F(a); P(C)=P(a£ X<b).

Из теоремы сложения для несовместных событий следует:

P(A)= P(B)+ P(C),

то есть

F(b)= F(a)+P(a£ X<b).

Откуда следует равенство

P(a£ X<b) = F(b) - F(a),

что и требовалось доказать.

Следствие (парадокс непрерывной случайной величины):

P(X=a) =0, если X - непрерывная случайная величина.

Допустим, функция F(x) непрерывна по своему аргументу. Тогда

.

Парадокс непрерывной случайной величины состоит в том, что вероятность возможного события оказывается равной нулю. Утверждение теоремы 5.1 можно переформулировать:

P(a < X<b) = F(b) - F(a) (5.3)

Допустим, что функция распределения F(x) - дифференцируемая. Рассмотрим отрезок [ x, x+Dx ], где Dx - малое приращение. Вероятность попадания случайной величины в данный отрезок равна

P(x < X< x+Dx) = F(x+Dx) - F(x)= DF.

Введем понятие средней плотности вероятности:

.

Из дифференцируемости функции F(x) следует:

.

Для задания случайной величины можно использовать плотность распределения вероятностей:

(5.4)

При задании непрерывной случайной величины часто называют функцию F(x) интегральной функцией распределения, а функцию f(x) дифференциальной функцией распределения.

Если заменить малое приращение Dx дифференциалом независимой переменной dx, то, используя определение дифференциала, вероятность попадания случайной величины в бесконечно малый отрезок можно записать следующим образом:

(5.5)

Таким образом, можно «обойти» парадокс непрерывной случайной величины, рассматривая вместо вероятности попадания в точку вероятность попадания в бесконечно малый промежуток, которая с точностью до бесконечно малых более высокого порядка равна f(x)dx. Величину f(x)dx называют элементом вероятности.

f(x)

dx x

Рис.3

Случайная величина X называется непрерывной, если на Ох задана непрерывная интегральная функция F(x), а плотность распределения, или дифференциальная функция, f(x) определена всюду, за исключением конечного числа точек, в которых она может иметь разрывы первого рода.

F(x) - величина безразмерная; f(x) имеет размерность, обратную размерности самой случайной величины X.

Теорема 5.2. Еслизадана интегральная функция F(x), а дифференциальная функция f(x) определена всюду, за исключением конечного числа точек, то

(5.6)

Дата добавления: 2014-01-04