Операторы физических величин в квантовой теории

Квантовые операторы − символические изображения математических операций преобразования величин в квантовой теории. В квантовой механике постулируется, что каждой физической величине, описываемой в классической механике функцией
F(x,y,z,p_x,p_y,p_z) координат и импульсов, ставится в соответствие линейный оператор
(,,,) действующий на волновую функцию ψ(x,y,z,t). Под оператором понимается правило, по которому одной функции ψ(x,y,z,t) переменныx x, y, z, t сопоставляется другая функция χ(x,y,z,t) тех же переменных.

χ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z,t).

Например: оператор может означать дифференцирование по какой-либо переменной:

χ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z,t) = ∂(x,y,z,t)/∂x,

т. е. = ∂/∂x.
При построении операторов используется принцип − между операторами, описывающими частицы в квантовой механике, имеют место те же соотношения, что и между их аналогами в классической механике. Например, оператор полной энергии связан с операторами кинетической и потенциальной энергии соотношением
. = + .
Примеры некоторых операторов.
Оператор координаты равен самой координате x, т. е. сводится к умножению на эту переменную: = x.
Операторами проекций импульсов являются операторы

_x = (ћ/i)(∂/∂x), _y = (ћ/i)(∂/∂y), _z = (ћ/i)(∂/∂z).

Остальные операторы могут быть построены, используя операторы координаты и импульса и простое правило, которое выполняется в большинстве случаев: в квантовой механике операторы физических величин выражаются друг через друга так же, как сами физические величины в классической физике.

Оператор кинетической энергии :

Оператор Гамильтона (гамильтониан) − оператор полной энергии :

= + .

Если частица движется в потенциальном поле U(x,y,z), то оператор Гамильтона имеет вид

Оператор момента количества движения:

Оператор квадрата момента количества движения ²:

С каждым оператором в квантовой механике связывается уравнение

ψ_n(x) = F_nψ_n(x),

определяющее его собственные значения F_n и полную систему ортонормированных функций ψ_n, подчиняющихся определенным граничным условиям. Совокупность величин F_n определяет спектр возможных значений физической величины F. Функция ψ_n(x) характеризует состояние системы, в котором величина F имеет значение F_n.
Например, уравнения для собственных функций и собственных значений операторов, _x, _y, _z имеют вид

Решением первого уравнения является волновая функция

где a(y,z) произвольная функция (y,z).

14. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Как мы знаем осн. величиной, характеризующей состояние микросистемы в квантовой механике явл. волновая функция, которая изменяется со временем. Изменение волновой функции со временем, как следует из постулата №5, описывается уравнением Шредингера.

iℏ(dψ/dt)=Ĥψ (1). Данное уравнение было предложено для описания микросистем Шредингера в 1926 году, уравнение Ш. в квантовой механике выполняет такую же роль, как и уравнения Ньютона в классической механике, это уравнение, как и уравнение Ньютона ниоткуда не выводится. Справедливость данного уравнения устанавливается тем, что все вытекающие из него следствия подтверждены экспериментально. Уравнение Ш. с математической точки зрения явл.уравнением в частных производных. Для однозначного решения этого уравнения нужны дополнительные ограничения. Условия, которые накладывает квантовая теория на на решение уравнения Ш. следующие: физ.смысл могут лишь иметь такие решения, которые всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие. Особую роль в квантовой теории играют стационарные состояния, т.е. сотсояния, в которых все наблюдаемые физические величины не меняются с течением времени. Можно показать, что волновая функция, описыв.стационарные состояния имеет след. вид: ψ(R,t)=ψ(R)*e^-i(E/ℏ)t (2). Для того, чтобы получить ур-ия для ф. ψ(R) подставим (2) в (1): iℏ(d[ψ(R)*e^-i(E/ℏ)t ]/dt)=Ĥ* ψ(R)*e^-i(E/ℏ)t, решая, получаем: E*ψ(R)=Ĥψ(R) (3). Уравнение (3) называется стационарным уравнением Шредингера. Его можно рассматривать,к ак уравнение на собственную функции, которым соответствует определенное значение энергии. Эти состояния квантовой системы называется стационарным. В отличие от теории Бора, где квантование вводилось искусственно, в теории Ш. она возникает автоматически. Для этого достаточно учесть, что физический смысл имеют лишь те решения уравнения Ш.,которые удовлетворяют определенным условиям. Эти условия состоят в том, что волновая функция должна быть конечной, однозначной, непрерывной и гладкой, во всем пространстве даже в тех точках, где потенц.энергия терпит разрыв.

Дата добавления: 2014-01-04