В 5. Показатели тесноты связей линейной корреляционно-регрессионной модели

..

x

Рисунок 6.3. Точечная диаграмма связи показателей

Это достигается при использовании метода наименьших квадратов (МНК), разработанного К.Ф.Гауссом (1777–1855).

Для прямой линии составим линейную систему нормальных уравнений (два уравнения с двумя неизвестными).

Получим:

(6.3)

В учебниках по общей теории статистики, как правило, даются формулы для расчета параметров уравнения регрессии и :

(6.4)

(6.5)

Эти формулы получены при использовании правила определителей второго порядка для решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными, где в знаменателе стоит значение главного определителя:

(6.6)

где Δ – главный определитель системы.

В числителях формул 6.4 и 6.5 стоят определители, где в главном определителе заменен один из столбцов на столбец свободных членов.

В полученном уравнении регрессии параметры носят следующие названия:

а0 – свободный член;

а1 – коэффициент регрессии.

В уравнении свободный член может иметь экономико-технологический смысл, а может не иметь. Например, если уравнение отражает уровень продуктивности животных в зависимости от уровня кормления, то свободный член должен показывать уровень продуктивности животных при «нулевом» кормлении, что является абсурдным. С точки зрения математики свободный член отражает значение точки пересечения прямой линии с осью ординат. Корреляционно-регрессионная связи существует только в определенной области (в области размаха вариации для Х и У)

Парный коэффициент регрессии всегда интерпретируем.

Парный коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц своего измерения в среднем изменится результат (У), если факторный показатель (Х) изменится в среднем на единицу своего измерения.

Например, получено уравнение зависимости уровня рентабельности от уровня механизации производственного процесса:

Ỹ_х = 10 + 0,301Х, где значения обоих параметров уравнения имеют смысл:

а0=10% будет отражать уровень рентабельности при полном отсутствии механизации труда;

а1=0,301% показывает, что уровень рентабельности увеличится на 0,3%, если уровень механизации вырастет на 1%.

Имея значения параметров уравнения регрессии, вычисляют теоретические значения результативного показателя, подставляя в уравнение фактические значения Хi (см. таблицу 6.2), для дальнейшей работы с моделью.

Насколько близко фактические точки разбросаны вокруг теоретической линии, оценивают по показателям тесноты связей, к которым относятся

1.) Парный коэффициент корреляции:

(6.7)

где в знаменателе стоит произведение среднеквадратических отклонений факторов

(6.8)

или

(6.9)

Аналогично рассчитывается среднеквадратическое отклонение У.

Величина -называется ковариацией и обозначается

-= COV yx (это показатель величины совместной вариации Х и Y).

Вторая формула для расчета парного коэффициента корреляции:

(6.10)

Третья формула для расчета парного коэффициента корреляции

(6.11)

Парный коэффициент корреляции интерпретируется в зависимости от его величины и знака, т.к. он указывает не только на тесноту связи, но и направление связи. Знак парного коэффициента корреляции всегда совпадает со знаком парного коэффициента регрессии.

Парный коэффициент корреляции всегда принадлежит одному из интервалов 0<r<1 или –1<r<0.

Если 0<r<1, то связь между факторами прямая.

Если –1<r<0, то связь факторов обратная.

Если |r|<=0,3, то связь признаков слабая;

если 0,3<|r|<0,7, то связь факторов средняя;

если |r|>=0,7, то связь между показателями сильная (или тесная).

Дата добавления: 2014-01-04