КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекция 5. Операторный метод расчета переходных процессов, теорема разложенияЦель лекции: познакомить с основами операторного метода, переходом от операторных изображений к временным функциям. 5.1 Основы операторного метода, отыскание операторных изображений некоторых функций. Идея – замена интегро-дифференциальных уравнений алгебраическими путем замены функций времени функциями некоторого комплексного переменного , называемого оператором. Заданная функция времени – оригинал. Функция , полученная в результате замены переменной – изображение. Эти функции не равны друг другу. Поэтому между ними ставится знак не равенства, а соответствия, т.е . Преимущество операторного метода – решение системы алгебраических уравнений много легче решения системы дифференциальных уравнений. Расчет операторным методом сводится к решению двух задач: - перевод заданных временных функций в операторные (т.е. алгебраизация уравнений); - перевод вычисленных в результате расчета операторных функций во временные. Первая задача решается с помощью преобразования Лапласа . (5.1) Изображение постоянной. . , т.е. величина, не зависящая от времени, не зависит и от новой переменной. Изображение суммы двух функций. Пусть известны изображения ; . Найти изображение . Согласно (5.1): . Изображение показательной функции. Если задано , где - постоянная величина, то . . Изображение синуса и косинуса. По изображению показательной функции находятся изображения и . По формулам Эйлера , . Можно показать, что , . . Изображение производной. . При нулевых начальных условиях , . Изображение интеграла. Найдем изображение , если известно изображение функции . , где , . Если - ток, протекающий через конденсатор, то - заряд на его пластинах ). Если в начальный момент конденсатор не заряжен, , то . Таким образом, интегрированию функции времени соответствует в операторной форме деление изображение этой функции на оператор . Пример - Найти ток при включении цепи на постоянное напряжение (см. рисунок 1.1). Уравнение электрического равновесия цепи имеет вид . Переходим к операторным изображениям , , т.к. . . В операторной форме получим: и изображение тока . Для обратного перехода к временным функциям преобразуем выражение . Известно, что , а т.к. полученное изображение сходно с указанным, то . 5.2 Теорема разложения Если операторное изображение может быть представлено в виде , где и - многочлены различных степеней , то оригинал определяется с помощью теоремы разложения. Пусть . Теорема разложения применима к определению оригинала такой операторной функции при следующих условиях: - степень числителя степени знаменателя, т.е. ; - все корни знаменателя , , … , находимые из условия , различны; - ни один из корней знаменателя не совпадает с корнями числителя. Согласно математическому анализу, дробь, удовлетворяющая этим условиям, может быть разложена в ряд, состоящий из простых дробей , (5.2) где , , … - корни знаменателя. Найдем коэффициенты уравнения (5.2). Для определения коэффициента умножим обе части равенства (5.2) на , а затем приравняем . (5.3) Если в (5.3) подставить , то в правой части остается только , а в левой получается неопределенность, т.к. и .Раскроем ее , т.е. . Подставив найденные значения коэффициентов в , получим , но . Следовательно - теорема разложения. (5.4) Если операторное изображение получилось в виде , то теорема разложения запишется в виде , (5.5) где и - числитель и знаменатель дроби при . Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1244; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |