Обработка результатов эксперимента методом регрессионного анализа

Под регрессионным анализом понимается исследование закономерностей связи между процессами, которые зависят от многих, иногда неизвестных факторов. Часто между переменными х и у существует связь не вполне определённая, при которой одному значению х соответствует несколько значений (совокупность) у. В таких случаях связь называют регрессионной.

Таким образом, функция у=f(х) является регрессионной (корреляционной), если каждому значению аргумента соответствует статистический ряд распределения у.

Следовательно, регрессионные зависимости характеризуются вероятностными (стохастическими) связями. Поэтому установление регрессионных зависимостей возможно только тогда, когда выполнимы статистические измерения.

Статистические зависимости описываются математическими моделями процесса, т.е регрессионными выражениями, связывающими независимые значения х (факторы) с зависимой переменной у (функция цели, отклик).

Модель по возможности должна быть простой и адекватной. Например, модуль упругости материала Е зависит от его плотности r так, что с возрастанием плотности модуль упругости материала увеличивается. Однако выявить эту закономерность можно только при наличии большого количества измерений, т.к. при исследованиях каждой отдельной парной связи в зависимости Е=f(r) наблюдаются большие отклонения.

Суть регрессионного анализа сводится:

· к установлению уравнения регрессии, т.е. вида кривой между случайными величинами (факторами х и функцией отклика у),

· оценке тесноты связей между ними,

· оценке достоверности и адекватности результатов измерений.

Чтобы предварительно определить наличие такой связи между х и у, наносят точки на график и строят так называемое корреляционное поле. По тесноте группирования точек вокруг какой-либо линии можно визуально судить о наличии корреляционной связи. Так на рис. 8а видно, что экспериментальные данные имеют определённую связь между х и у, а измерения, приведённые на рис. 8б такой связи не обнаруживают.

а) б)

Рис. 8 Корреляционное поле

Корреляционное поле характеризует вид связи между х и у. По форме поля можно ориентировочно судить о форме графика, характеризующего прямолинейную или криволинейную зависимости. Даже для вполне выраженной формы корреляционного поля вследствие статистического характера связи исследуемого явления одно значение х может иметь несколько значений у.

Если на корреляционном поле осреднить точки, т.е. для каждого значения x_i и определить среднее значение функции отклика и соединить точки, то можно получить ломаную линию, называемую экспериментальной регрессионной зависимостью (линией). Наличие ломаной линии объясняется погрешностями измерений, недостаточным количеством измерений, физической сущностью исследуемого явления и др. Если на корреляционном поле провести плавную линию между , которая равноудалена от них, то получится новая теоретическая регрессионная зависимость. На рис.8а – это линия АБ.

В общем случае различают однофакторные (парные) и многофакторные регрессионные зависимости. Парные зависимости могут быть аппроксимированы прямой линией, параболой, гиперболой, логарифмической, степенной или показательной функцией, полиномом и др.

Многофакторные теоретические регрессии аппроксимируются полиномами первого или второго порядка. Теоретические модели множественной регрессии могут быть получены с помощью методов математического планирования, т.е. в результате активных экспериментов.

Дата добавления: 2014-01-04