Матричный подход к регрессионному анализу при многофакторном планировании

При активном планировании эксперимента открываются новые возможности для регрессионного анализа. Для расчёта коэффициентов регрессии применяется матричный способ описания и решения алгебраический уравнений.

Допустим, что исследуется влияние k факторов на отклик. Предполагаемая математическая модель исследуемого процесса будет иметь вид:

.

В матричной форме эта система уравнений выглядит следующим образом:

Y=X×B.

Матрицы Y, X и B имеют вид:

, , В=. Размер матрицы Y равен N×1, X – N×k, B – (k+1)×1.

№ опыта	факторы	Отклик
х0	х1	….	xk
	+1	-1	…	…	y1
	+1	+1	…	…	y2
…	…	…	…	…	…
N	…	…	…	…	yn

Матрица коэффициентов уравнения регрессии согласно правилам матричного исчисления равна следующему выражению.

,

где Х^Т – транспонированная матрица по отношению к матрице Х (транспонировать матрицу – это значит сделать столбцы исходной матрицы строками транспонированной при сохранении их последовательности);

(Х^ТХ) – произведение транспонированной и исходной матрицы факторов;

(Х^ТХ)^-1 – матрица обратная матрице Х^ТХ (обратной по отношению к исходной является матрица, если выполняется условие Е=(Х^ТХ)^-1(Х^ТХ); Е – единичная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, а остальные – 0).

При ортогональном планировании матрицы (Х^ТХ) являются диагональной, её диагональные элементы равны числу опытов N в матрице планирования. Матрица (Х^ТХ)^-1 также будет диагональной. Поэтому все коэффициенты уравнения регрессии некоррелироваными между собой. Имеют одинаковую точность. Значимость каждого коэффициента можно оценивать независимо от других.

Таким образом, коэффициенты уравнения регрессии по методу наименьших квадратов при активном эксперименте вычисляются следующим образом.

.

Любой коэффициент уравнения b_i определяется произведением столбца у на соответствующий столбец x_i, делённый на число опытов в матрице планирования:

.

Дата добавления: 2014-01-04