Уравнение волны

Задачи

1. Определить, при какой скорости вагон начнет сильно раскачиваться в вертикальном направлении из-за ударов о стыки рельсов. Масса вагона 60 т, коэффициент упругости восьми пружин подвески 2·10⁷ Н/м, длина рельса 25 м.

2. Центр масс ротора массой 400 кг тягового двигателя массой 800 кг смещен относительно оси вращения на 0,01 мм. Двигатель подвешен к раме вагона, коэффициент упругости подвески 8·10⁵ Н/м. При какой частоте вращения наступит резонанс. Определить амплитуду колебаний при резонансе, если коэффициент затухания амортизаторов 0,8 1/с.

3. Определить амплитуду вынуждающей силы вибростенда по графику зависимости амплитуды от частоты вынужденных колебаний (рис.6.21) колесной пары массой 1200 кг, установленной с пружинами подвески на вибростенде. Коэффициент затухания колебаний 0,3 1/с

4. Колесная пара массой 1300 кг с подвеской установлена на вибростенде. Определить приближенно по графику (рис.6.21) коэффициент затухания амортизаторов как полуширину резонансного пика на уровне . Определить коэффициент упругости пружин подвески.

5. На вагон массой 40 т со стороны рельсов действует вертикальная переменная сила F = 300 sin 31,4 t Н. При каком значении коэффициента упругости подвески вагона наступит резонанс. Чему равна при этом амплитуда колебаний, если коэффициент затухания 0,4 1/с.

6. Определить, при какой скорости начнет сильно раскачиваться вагон, совершая галопирующие колебания из-за ударов о стыки рельсов. Масса вагона 60 т, расстояние между осями 12 м, длина вагона 15м, коэффициент упругости передней и задней подвесок 1·10⁷ Н/м. Длина рельса 25 м.

7. Определить, при какой амплитуде колебаний вагона при вибрации с частотой 20 Гц незакрепленные предметы будут подпрыгивать относительно пола вагона.

17. ВОЛНЫ В УПРУГИХ СРЕДАХ

Волны – это процесс распространения колебаний в пространстве. Существует большое многообразие видов механических волн в упругих средах. Наиболее известны объемные волны. В объеме газа, жидких и твердых сред могут распространяться продольные волны, в которых частицы совершают колебания вдоль направления распространения волны. В твердых средах могут распространяться поперечные волны, в которых частицы совершают колебания перпендикулярно направлению распространения волны. Различные виды волн распространяются вдоль поверхности жидкости, твердых тел, по земной коре. Распространяются волны в стержнях, шнурах, проводах и так далее. Всегда, когда среда обладает упругостью и массой, в ней могут распространяться упругие волны.

Получим уравнение волны. Это уравнение изменения параметра колебаний частиц среды в любой точке пространства зависимости от времени и расстоянии до источника колебаний. Параметром, который периодически изменяется в упругой волне, может быть смещение частиц от положения равновесия, скорость частиц, или плотность и давление в жидкости и газе, механические напряжения, т.д. Под частицей понимается сравнительно небольшой объем вещества, но содержащий огромное число молекул, которые движутся совместно.

Пусть, например, смещение источника происходят по уравнению , где А – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота колебаний. Источник действуют на ближайшие частицы окружающей среды, вынуждая их совершать колебания около их положений равновесия с частотой колебаний источника. Те, в свою очередь, заставляют совершать колебания следующие частицы. Происходит процесс распространения вынужденных колебаний в пространстве, который называется волной.

Поверхность среды, до которой дошло возбуждение от источника колебаний, называется фронтом волны. Форма фронта волны может быть различной. В однородной среде фронт от точечного источника (пульсирующий шарик) является сферическим. Фронт можно считать плоским на большом расстоянии от точечного источника, или при излучении большой колеблющейся плоскостью, или при колебаниях поршня в цилиндрической трубе.

Пусть от источника распространяется вдоль оси x волна с плоским фронтом. Если можно пренебречь затуханием колебаний, то амплитуда колебаний частиц среды одинакова. Частицы среды начинают колебания позже, чем источник. Время запаздывания равно времени распространения волны , где V – скорость распространения фронта волны, x – расстояние от источника колебаний до частиц на фронте. Уравнение вынужденных колебаний частиц на оси x будет отличаться от уравнения колебаний источника только временем запаздывания

. (17.1)

Это уравнение является уравнением бегущей гармонической (синусоидальной) волны. Его можно изобразить графиком синусоиды, который вместе с волной перемещается вдоль оси x со скоростью фронта (рис. 17.1). За время одного периода колебаний фронт перемещается на расстояние, называемое длиной волны . Длина волны также равна расстоянию между ближайшими точками на линии распространения, разность фаз которых равна 2π радиан.

Перепишем уравнение волны, введя в него длину волны. Подставив при , получим

. (17.2)

Здесь называется волновым вектором. В общем случае это вектор, показывающий направление распространения фронта волны. Если волна распространяется в направлении против оси x, то волновой вектор в уравнении (17.2) отрицателен.

Функция (17.2) описывает распространение монохроматической бесконечной волны. Аргумент функции называется фазой. Поверхность среды, для частиц которой фаза постоянна, , называется волновой поверхностью. Для частиц на фронте фаза равна нулю. Фронт и волновые поверхности перемещаются с так называемой фазовой скоростью. Продифференцировав формулу фазы, получим .

Если волна излучается конечное время, то её описывают как группу монохроматических волн разных близких частот и скорость перемещения группы называют групповой скоростью.

При распространении волны частицы вещества, то есть масса вещества, волной не переносится. Переносится кинетическая и потенциальная энергия колебаний и импульс вследствие взаимодействия частиц.

Дата добавления: 2014-01-04