Работа сил электростатического поля при перемещении заряда. Потенциал и разность потенциалов

Рассмотрим произвольное перемещение (1– а –2) заряда q в электростатическом поле. Пусть поле создаётся неподвижным точечным зарядом Q (рис. 3.1.). В процессе перемещения на заряд q действует кулоновская сила:

. (3.1)

Рис. 3.1.

Её работа на перемещении равна:

. (3.2)

Здесь dr = dl сosa — толщина сферической оболочки, окружающей заряд Q. Полная работа электрической силы равна сумме работ на всех участках траектории:

. (3.3)

Теперь несложно показать, что эта работа не зависит от формы траектории и остаётся неизменной, если начальная и конечная точки траектории не меняют своего положения. Рассмотрим, например, перемещение того же заряда q из начальной точки 1 в конечную 2 по новой траектории 1– b –2. При преодолении прежнего сферического слоя на перемещении электрическая сила совершит работу:

. (3.4)

Но ведь эта работа в точности совпадает с работой на перемещении dl (3.2) по первоначальной траектории 1– а –2.

Полная работа, равная сумме элементарных работ на всех участках новой траектории, будет равна работе электрической силы на траектории 1– а –2:

. (3.5)

Вспомним, что силы, работа которых не зависит от вида траектории и определяется только положением её начальной и конечной точек, называются консервативными.

Мы пришли к выводу, что кулоновская сила консервативна. Впрочем, ничего неожиданного в этом выводе нет: ведь сила взаимодействия двух точечных зарядов может быть отнесена к классу центральных сил, а все центральные силы, как было установлено в механике, консервативны.

Итак, вычислим работу кулоновской силы при перемещении заряда q из точки 1 в положение 2 (по любой траектории):

(3.6)

Как и следовало ожидать, величина работы никак не связана с видом траектории. Она зависит только от положения её начальной (r ₁) и конечной (r ₂) точек.

В механике было показано, что работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии системы:

. (3.7)

Присмотримся внимательнее к результату (3.6):

.

Сопоставив этот результат с теоремой о работе консервативной силы (3.7), запишем уравнение:

,

из которого следует, что потенциальная энергия системы:

+ const. (3.9)

Это потенциальная энергия системы двух точечных зарядов, или, что то же самое, энергия заряда q в электрическом поле точечного заряда Q.

Константа в выражении (3.9) принимается обычно равной нулю. Это означает, что принимается равной нулю энергия взаимодействия зарядов q и Q на бесконечном удалении их друг от друга (при r = ∞).Тогда на расстоянии r энергия взаимодействия равна . (3.10)

Потенциальная энергия заряженной частицы в электрическом поле зависит, таким образом, от величины заряда q и от его положения в поле относительно заряда Q, создающего поле.

Энергия единичного (q = 1) точечного заряда уже не будет связана с величиной этого пробного заряда q и может быть принята в качестве энергетической характеристики данной точки электростатического поля:

.

Эта энергетическая характеристика поля получила название потенциал — j.

Потенциал произвольной точки электростатического поля равен энергии единичного положительного заряда, помещённого в эту точку.

Можно придать потенциалу и иной физический смысл.

Поместим заряд q в поле точечного заряда Q. Первоначально расстояние между зарядами — r. Отпустим заряд q. Под действием электрической силы отталкивания заряд q удалится в бесконечность (рис. 3.2.). На этом перемещении кулоновская сила совершит работу:

. (3.11)

Эта работа не зависит от формы траектории, поэтому мы её вычислили, считая, что заряд q удаляется по радиусу.

Рис. 3.2.

Сравнивая (3.10) и (3.11), заключаем, что:

. (3.12)

Потенциал некоторой точки электростатического поля равен работе, совершаемой электрической силой при эвакуации единичного положительного заряда из этой точки в бесконечность.

Теперь вычислим потенциал поля, созданного системой точечных зарядов Q ₁, Q ₂, …, Q_N.

При перемещении заряда q из точки 1 в бесконечность электрическая сила совершит работу, равную алгебраической сумме работ сил, действующих на движущийся заряд со стороны зарядов Q ₁, Q ₂, …, Q_N (рис. 3.3.):

Рис. 3.3.

Согласно (3.12) работа каждой силы равна:

. (3.13)

Здесь — потенциал поля, создаваемого в точке 1 зарядом Q_i.

Таким образом, суммарная работа равна:

,

где .

Потенциал поля, созданного системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в рассматриваемой точке каждым из зарядов в отдельности:

. (3.14)

Результат (3.14) известен как «принцип суперпозиции для потенциала». Это очень важный вывод, позволяющий использовать понятие потенциала не только для характеристики полей точечных зарядов, но и для любых произвольных электростатических полей.

Ещё раз обратимся к вычислению работы электрической силы при перемещении заряда q из точки 1 теперь уже произвольного электростатического поля в бесконечность. Поскольку эта работа не зависит от формы траектории, унося заряд в бесконечность, пройдём предварительно точку 2 электростатического поля (рис. 3.4.).

Рис. 3.4.

Ясно, что вся работа на этом перемещении складывается из двух частей:

.

Разделив это равенство на величину переносимого заряда q, получим:

,

или:

. (3.15)

Здесь — разность потенциалов двух точек поля. Она равна работе, совершаемой электрической силой при перемещении единичного заряда из первой точки во вторую:

. (3.16)

Таким образом, зная разность потенциалов двух точек поля, легко вычислить работу электрического поля, совершаемую при перемещении заряда q между этими точками:

. (3.17)

В международной системе единиц СИ потенциал (и разность потенциалов) измеряется в вольтах:

.

Разность потенциалов двух точек электростатического поля равна одному вольту, если при переносе заряда q = 1Кл между этими точками, электрическая сила совершает работу А (F _эл.) = 1 Дж.

3.2. Теорема о циркуляции в вектора напряжённости электростатического поля

Существуют два равнозначных определения консервативной силы. Оба они подробно обсуждались в механике.

1. Консервативной называется сила, работа которой не зависит от формы траектории.

2. Консервативной называется сила, работа которой на замкнутой траектории равна нулю.

Рассмотрим перемещение заряда q в электростатическом поле по замкнутой траектории (рис. 3.5.). Заряд из точки 1 перемещается по пути L₁ в точку 2, а затем возвращается в исходное положение по другому пути L₂. В процессе этого движения на заряд со стороны поля действует консервативная электрическая сила:

.

Работа этой силы на замкнутой траектории L = L₁ + L₂ равна нулю:

.

Это уравнение, упростив, запишем так:

. (3.18)

Рис. 3.5.

Разберём подробно последнее уравнение. Подынтегральное выражение — элементарная работа электрической силы, действующей на единичный положительный заряд, на перемещении (рис. 3.6.):

, (3.19)

здесь q = 1 — единичный заряд.

Рис. 3.6.

При подсчёте работы на замкнутой траектории необходимо сложить элементарные работы электрической силы на всех участках траектории. Иными словами, проинтегрировать (3.19) по замкнутому контуру L:

. (3.20)

Интеграл по замкнутому контуру = называется циркуляцией вектора напряжённости электростатического поля по контуру L. По своей сути циркуляция вектора напряжённости — это работа электростатического поля, совершаемая при перемещении по замкнутому контуру единичного положительного заряда.

Так как речь идёт о работе консервативной силы, то на замкнутой траектории она равна нулю:

.

Теорема о циркуляции в электростатике: циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

3.3. Связь напряжённости и потенциала электростатического поля

Потенциал и напряжённость — две локальные характеристики электростатического поля. То есть, это две характеристики — энергетическая и силовая — одной и той же точки поля.

Разумно предположить, что между ними должна существовать однозначная связь.

Для отыскания этой связи, вычислим работу электрической силы на элементарном перемещении dl заряда q в электростатическом поле (рис. 3.7.).

Рис. 3.7.

С одной стороны:

. (3.21)

Но с другой стороны, эту же работу можно связать с разностью потенциалов (j₁ – j₂) = –(j₂ – j₁) = – d j:

. (3.22)

Объединив (3.21) и (3.22), получим:

E_ldl = – d j.

Или:

. (3.23)

Важно отметить, что здесь E_l — проекция вектора напряжённости поля на направление перемещения, а — изменение потенциала при переходе в поле из точки 1 в точку 2.

Записав (3.23) для направлений x, y и z, получим соответствующие составляющие (проекции) вектора напряжённости:

(3.24)

Первое уравнение этой системы означает, что проекция вектора напряжённости на ось x равна частной производной потенциала по x, взятой с противоположным знаком.

Полный вектор напряжённости можно, как обычно, представить в виде векторной суммы:

.

Последнее уравнение принято записывать так:

. (3.25)

Здесь векторный оператор «градиент» grad = .

Уравнение (3.25) устанавливает искомую связь двух характеристик электростатического поля — напряжённости и потенциала: напряжённость электростатического поля равна градиенту потенциала с обратным знаком.

До последнего времени мы измеряли напряжённость поля в :

.

Теперь, руководствуясь соотношением (3.23) можно получить ещё одну единицу измерения напряжённости:

.

Несложно показать, что эти две единицы измерения легко превращаются одна в другую:

.

3.4. Примеры расчёта потенциала электростатических полей

Установив связь двух характеристик электростатического поля — потенциала и напряжённости, покажем, как это соотношение можно использовать для расчёта потенциала.

Дата добавления: 2014-01-04