Операції над подіями

1. Сумою А+В () подій називається подія, яка настає тоді, коли настає принаймні одна з подій А або В.

Сприятливими для А+В є елементи події, які сприятливі або для події А, або для події В, або для обох подій А та В.

2. Добутком АВ () називається подія, яка настає тоді, коли настає обидві події А і В.

Сприятливими для АВ є елементарні події, які сприятливі і для А, і для В.

3. Різницею подій А-В (A\В) називається подія,

яка настає тоді, коли настає подія А і не настає подія В.

Протилежною подією до події А називається подія, яка настає тоді, коли не настає А. Сприятливими для є всі елементи події, які не входять в А.

Події А та В називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої в одному й тому випробуванні, тобто АВ = Æ.

Повна група подій

Події А1,А2,...,Аn утворюють повну групу, якщо у випробуванні обов’язково настане принаймні одна з них, тобто (сума подій достовірна).

Сума протилежних подій А та утворюють повну групу подій.

Події називаються рівноможливими, якщо немає об’єктивних причин вважати одну з них більш можливою порівняно з іншими.

Приклад. Випробування: підкидання кубика {}. Подія А-число більше за 4 ({w5,w6}). В-парне число ({w2,w4,w6}), С-менші трьох ({w1,w2}). Тоді А+В={w2,w4,w5,w6}; АВ={w6}; А\В={w5}; А={w1,w2,w3,w4}.

Події А і С несумісні, бо А*С=Æ.

Для порівняння випадкових подій кожній з них поставимо у відповідність деяке число,що характеризуєміру можливості появи події. Це число будемо називати ймовірністю подій. Позначається: Р(А) - ймовірність події А.

Класичне означення ймовірності

Нехай простір елементарних подій W={w1,w2,...,wn}- скінченна множина з n рівноможливих результатів випробування (). Нехай А- випадкова подія, що містить m сприятливих елементарних подій.

О7! Ймовірністю випадкової події А називається відношення числа m результатів випробування, сприятливих для А, до числа n всіх рівноможливих і попарно несумісних результатів випробування, які утворюють повну групу:

(1)

Формула (1) називається класичним означенням ймовірності.

Значення m та n знаходяться або безпосередньо з умов випробування, або при розв’язуванні багатьох задач із застосуванням формул та принципів комбінаторики.

Властивості ймовірності.

1. Для кожної події А Ì W справджується нерівність

2. Ймовірність достовірної події дорівнює 1

Р(W)=1, оскільки m= n

3. Ймовірність неможливої події дорівнює 0

Р(Æ)=0, оскільки m=0

Приклад. В урні 12 куль, серед них 8 чорних, 4 білих. Виймаємо 2 кулі. Знайти ймовірність того, що ці кулі білі?

Нехай А – подія,що витягнуто 2 білі кулі.

;

Статистичне означення ймовірності

Класичне означення ймовірностей (формула (1)) застосовується тільки до випробувань, які називаються схемою урн. Але існує великий клас подій, ймовірності яких не можна обчислити за класичною формулою.

Нехай проведено n випробувань, в яких k разів відбулася подія А.

О8! Відносною частотою події А називається число, яке визначається формулою:

(2)

Відносну частоту часто називають статистичною ймовірністю подій.

При невеликому n відносна частота має випадковий характер. Якщо число n випробувань велике, то відносна частота виявляє тенденцію стабілізуватися і наближатися з незначними коливаннями до деякої середньої сталої величини. Така властивість називається стійкістю відносних частот (або статистичною стійкістю).

Теорія ймовірності розглядає лише події, які мають таку властивість.

Наприклад Ж. Бюффон (18ст.) підкидав монету 4040 разів. Герб випав 2048 разів. Отже,

Пірсон підкидав монету 24000 разів.

Герб випав 12012 разів.

Відмітимо що за класичним означенням ймовірності герб випадає з ймовірністю .

Статистична ймовірність народження дівчаток 0,42.

Геометричне означення ймовірності

Нехай простір елементарних подій W - нескінченна множина точок області W на прямій, на площині, у просторі

Випробування: в область W навмання кидають точки U. Подія А - попадання точки U в деяку підобласть А області W (А Ì W).

Тоді ймовірність події А за означенням

(3)

де m(А) і m(W) – міра області А і W відповідно.

Якщо А, W - проміжок прямої,то m(А), m(W) – його довжина;

Якщо А,W - область площини, то m(А), m(W) – її площа;

Якщо А,W - область у просторі, то m(А), m(W) – її об’єм.

Формула (3) називається геометричним означенням ймовірності.

Приклад. На площині побудовано два концентричні кола радіусами 5 і 10 см. Знайти ймовірність того, що точка, яку випадково кинуто у велокий круг, попаде в кільце, утворене побудованими колами.

Площа кільця . Площа великого круга .

.

Дата добавления: 2014-01-04