Формула Байеса (теорема гипотез)

Теорема. Пусть событие А произойдет только в том случае, когда произойдет одна из гипотез , . Гипотезы – попарно несовместны, тогда справедлива формула (1)

Действительно, из формулы получим, что откуда следует справедливость формулы (1).

Задача. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах. Рассмотрим следующие гипотезы:

Н ₁ – первый попал, а второй промахнулся,

Н ₂ – первый промахнулся, а второй попал,

Н ₃ – оба попали, Н ₄ – оба промахнулись.

Найдем вероятности этих гипотез:

;

;

;

.

Тогда условная вероятность события А при реализации гипотез равна единице, а при реализации гипотез равна нулю, то есть:

,

.

Следовательно, полная вероятность находится по формуле: ,

= 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46.

Вероятность того, что попал первый стрелок, находим по формуле Байеса: , получим:

Дата добавления: 2014-01-04