Задачи МС

Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд и его основные числовые характеристики

Математическая статистика (МС) — раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей.

Задача 1. Указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов;

Задача 2. Разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования.

Ко второй задаче относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и т.д.

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная МС разрабатывает способы определения числа необходимых экспериментов до начала исследований (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает другие задачи. Современную МС определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты.

Пример. В партии изделий качественным признаком может служить стандартность деталей, а количественным – контролируемый размер деталей.

Предположим, что имеется некоторое множество однородных предметов, определенный признак которых исследуется. Вся подлежащая изучению совокупность предметов называется генеральной совокупностью. Предположим далее, что исследовать данный признак у всех предметов этой совокупности не представляется возможным (либо их очень много, либо они физически уничтожаются, либо по другим причинам). В этом случае используют выборочный метод, согласно которому из данной генеральной совокупности случайным образом выбираются n элементов . Та часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Объёмом совокупности (выборочной или генеральной) называют число (n или N соответственно) объектов этой совокупности. Если, например, из 1000 деталей для обследования отобрано 85, то объём генеральной совокупности N =1000, объём выборки

n = 85.

Для того чтобы результаты обследования выборки отражали основные черты изучаемого признака, необходимо, чтобы объём выборки не был чрезвычайно мал. Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо представляет количественные соотношения генеральной совокупности.

Пример. О распределении жителей г. Омска по росту нельзя судить по результатам обследования одной квартиры. Ясно, что данные, относящиеся к одному высотному дому или группе домов, более показательны, репрезентативны.

Предположим, что проводится случайный эксперимент, например, измеряется некоторая величина . На измерения могут влиять как систематические ошибки (погрешность прибора), так и случайные ошибки (внешние условия и т.п.), получаемые в результате воздействия различных (случайных) факторов. Таким образом, можно интерпретировать как случайную величину (СВ). Предположим далее, что возможные значения СВ известны. Эти значения можно считать генеральной совокупностью. Если же известны и вероятности появления значений, то нам известен и закон распределения СВ (теоретический закон распределения или распределение генеральной совокупности). Обобщая ситуацию на случай произвольной СВ (как дискретной, так и непрерывной), можно говорить о теоретической функции распределения (функции распределения генеральной совокупности). На практике она неизвестна. В этом случае производят измерения (случайные) , в результате получают значение СВ. Однако, как правило, судить о значениях СВ по одному измеренному значению неубедительно. Поэтому на практике производят независимых совокупностей случайных испытаний (измерений) данной СВ. В результате получают реализовавшихся значений (*) данной СВ, которые называют выборочными значениями (данной СВ). Совокупность (*) можно интерпретировать как выборку объёма k. Выборочные значения называют вариантами.

Совокупность (*), расположенная в порядке неубывания, называется вариационным рядом. Выберем из (*) только различные, расположенные в возрастающем порядке значения .

Пусть признак наблюдался раз, наблюдался раза,…, наблюдался раз. Тогда , где – объём выборки, наблюдаемые величины – варианты. Числа наблюдений , называют частотами, а отношение частот к объёму выборки – относительными частотами : , ; .

В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайных величин и их вероятностями

			…
			…

В математической статистике под распределением понимают соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или относительными частотами.

Статистическим рядом или статистическим распределением выборки называют совокупность пар , , где – различные элементы выборки, а – частота выборочных значений , .

Статистический ряд записывается в виде таблицы

			…
			…

Для наглядности принято использовать полигон частот как форму графического представления статистических распределений. Полигоном частот (относительных частот) выборки называется ломаная с вершинами в точках , где , , (по оси откладываются выборочные значения , по оси – соответствующие частоты или относительные частоты ):

Пример. Выборка, полученная в результате статистического наблюдения (единицы измерения опускаем) – 7, 17, 14, 17, 10, 7, 7, 14, 7, 14.

Решение. Ранжированный вариационный ряд:

, где

Соответствующее статистическое распределение :

Дата добавления: 2014-01-04