Перетворення Лапласа

Реальні САК мають математичну модель у вигляді складних диференціальних рівнянь, розв'язок яких у загальному вигляді в більшості випадків неможливий. Для полегшення даної задачі розроблено декілька методів. Найбільш поширеним є метод перетворення Лапласа, побудований на тому, що функції часу замінюють їх зображеннями.

Перетворенням Лапласа називають співвідношення:

Це співвідношення ставить у відповідність функції x(t) дійсної змінної t функцію X(s) комплексної змінної s ().

При цьому x(t) називають оригіналом, a X(s) - зображенням за Лапласом. Це записують таким чином: , або .

Інколи використовують символічний запис: , де L - оператор Лапласа.

Співвідношення

визначає за відомим зображенням його оригінал і називається оберненим перетворенням Лапласа. Символічно це можна записати так: де – обернений оператор Лапласа.

Перетворення Лапласа є дуже цінним методом аналізу і синтезу систем керування, коли необхідно визначити перехідні процеси і точність регулювання в усталеному режимі. Але слід пам'ятати, що це перетворення є справедливим тільки для лінійних стаціонарних (з постійними параметрами) систем. У нестаціонарних системах один або декілька параметрів залежать від часу, тому перетворенням Лапласа користуватися не можна. Перетворення Лапласа не можна використовувати також для аналізу нелінійних систем.

У курсі ТАК прийнята стандартна форма запису лінійних диференціальних рівнянь, при якій члени, що містять вихідну величину та її похідні, записують у лівій частині рівняння, а решту членів - у правій частині. Коефіцієнт при вихідній величині y(t) роблять рівним одиниці.

Рівняння (3) може бути записано також в операційній формі, якщо до лівої та правої частин застосувати перетворення Лапласа:

(7)

Зовні рівняння (3) і (7) схожі, але вони принципово відрізняються одне від одного, оскільки в першому буква р позначає оператор диференціювання d/dt, а змінні x(t) та y(t) є реальними функціями часу. Тобто рівняння залишається диференціальним. Рівняння (7) - алгебраїчне. У ньому буква s позначає комплексу змінну, а величини X(s) і Y(s) є зображеннями фізичних величин x(t) та y(t).

Крім того, схожість даних рівнянь можлива, тільки якщо система стаціонарна, тобто коефіцієнти а_j b_j постійні, а початкові умови для диференціального рівняння нульові.

Операційна форма запису рівнянь проста і зручна, оскільки перетворити та розв'язати алгебраїчне рівняння простіше, ніж диференціальне. Це забезпечило її широке застосування в теорії автоматичного керування.

Введемо поняття передавальної функції за Лапласом.

Передавальною функцією за Лапласом W(s) називається відношення зображення вихідної величини до зображення вхідної величини за нульових початкових умов.

Із (7) отримуємо:

(8)

Тоді рівняння можна записати у вигляді

Y(s) = W(s)*X(s). (9)

Знаменник передавальної функції (8) є характеристичним поліномом системи. Якщо його прирівняти до нуля, отримаємо характеристичне рівняння САК, тобто

Корені характеристичного рівняння визначають характер руху системи і називаються полюсами передавальної функції, а корені чисельника називаються нулями передавальної функції. У полюсах функція W(s) перетворюється на нескінченність, а в нулях вона стає рівною нулю. Розміщення полюсів на комплексній s-площині визначає характер власного (вільного) руху системи.

Передавальна функція системи W(s) та її часові функції h(t) і w(t) пов'язані між собою:

L{h(t)} = W(s)/s - зображення перехідної функції;

L{w(t)} = W(s) - зображення імпульсної перехідної функції.

Звідси, відповідно, можна записати:

. (10)

Співвідношення (10) дозволяють знайти перехідну та імпульсну перехідну функції САК за її відомою передавальною функцією W(s). Для цього можуть бути використані таблиці зображень основних елементарних функцій чи теорема розкладу.

Дата добавления: 2014-01-04