Решение систем линейных уравнений

Блок-схема метода Ньютона и числовой пример для системы 2-х нелинейных уравнений

Блок схема алгоритма метода Ньютона приведена на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Блок схема алгоритма метода Ньютона

В блоке 2 (рис. 3.6) осуществляется ввод исходных данных: а, b - начальные приближения неизвестных; - погрешность вычислений; - максимально

допустимое число итераций.

В блоке 6 «да» будет в том случае, если выполнятся оба условия.

В блоке 5 а, b - значения неизвестных на предыдущей итерации; x, y - значения на рассматриваемой итерации.

В качестве примера решим систему нелинейных уравнений:

} (3.20)

Определим положительные корни с погрешностью. Начальные приближения определим графической прикидкой. Для этого из первого уравнения системы (3.20) выразим х:

(3.21)

Задаем последовательно и определяем значения х по формуле (3.21). По полученным точкам, строим кривую f₁ (рис. 3.7).

Из 2-го уравнения системы (3.20) также выразим х:

. (3.22)

Задаем последовательно и определяем х по формуле (3.22). Строим кривую f₂ (рис. 3.7).

Координаты точки пересечения кривых f₁ и f₂ являются начальными приближениями, т.е. а = 0,9; b = 0,5 (рис. 3.7). Отметим, что при построении графиков в Excel переменная у в рассматриваемом примере автоматически

Рис. 3.7. Графическое определение начальных приближений а и b

отложится на горизонтальной оси, так как у задавали, а х вычисляли.

Получим формулы для по исходной системе уравнений (3.20):

(3.23)

= (3.24)

(3.25)

Итерация i =1: a =0.9; b =0.5; вычислим J, D_х, D_у по (3.23), (3.24), (3.25) при x = a; y = b;

J = -4,23; D_х =0,289; D_у = -0,2664;

Итерация i =2: в (3.23), (3.24), (3.25) подставляем a = x = =0,8317; b = y = 0,5630;

J = -3,9998; D_х = 0,0225; D_у = -0,0025;

х = 0,8317 - 0,00562 = 0,8261;

у = 0,5630 + 0,00063 = 0,5636;

.

Итерация i =3: a = x = 0,8261; b = y = 0,5636;

J = -3,9537; D_х = 0,0001; D_у = -0,0001;

х = 0,8261 - 0,00003 = 0,8260;

у = 0,5636 + 0,00002 = 0,5636;

Вычисления окончены. Корни системы (3.20) с заданной точностью найдены.

Дата добавления: 2014-01-04