Постановка задачи

Интерполирование

Пусть величина y является функцией аргумента x. Это значит, что любому значению x из области определения поставлено в соответствие значение y. На практике часто неизвестна связь между y и x, т.е. невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости (формулы) y = f (x).

Часто эта связь задана в виде некоторой таблицы {x_i, y_i}. Это означает, что дискретному множеству значений аргумента {x_i} поставлено в соответствие множество значений {y_i} (i = 0, 1, …, n). Значения являются результатами расчетов или экспериментальными данными.

Пример: опытным путем определили зависимость предела прочности (σ_в) стали 20 при статическом растяжении от температуры испытания ( t) (см. табл. 5.1).

Таблица 5.1

Опытные данные по исследованию σ_в в зависимости от t

t, ˚С
σв, МПа

С точки зрения математики t это x, а σ_в – y. Нам могут понадобиться значения величины y и в других точках, отличных от узлов x_i. Имеющиеся табличные данные необходимо использовать для приближенного вычисления искомого параметра y при любом значении (из заданной области) определяющего параметра x. Напомним, что точная связь y=f(x) неизвестна.

Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией φ(x), так, чтобы отклонение φ(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция φ(x) называется аппроксимирующей.

На практике часто аппроксимирующая функция является многочленом

φ(x)=, (5.1)

где m – степень многочлена. Коэффициенты (j=0,1, …,m) подбираются так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена φ(x) от функции f(x).

Одним из основных типов аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции f(x) строится многочлен (5.1), принимающий в заданных точках , те же значения , что и функция f(х), т. е.

φ(х_i) = , i=0,1, …, n. (5.2)

Точки называются узлами интерполяции, а многочлен φ(х) – интерполяционным многочленом.

Таким образом, близость интерполяционного многочлена φ(х) к заданной функции f(х) состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Графики заданной функции f(х) и интерполяционного многочлена φ(х)

Максимальная степень интерполяционного многочлена m=n, где n – заданное число значений (число опытных точек). В этом случае говорят о глобальной интерполяции, т. к. один многочлен

φ(х)= (5.3)

используется для интерполяции функции f(х) на всем рассматриваемом интервале изменения х. Коэффициенты многочлена (5.3) находятся из решения

системы уравнения (5.2).

Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения х. В этом случае имеем кусочную (или локальную) интерполяцию. В качестве локальной интерполяции часто используют линейную и квадратичную интерполяцию.

Дата добавления: 2014-01-04