Виды эмпирических формул

Пусть мы изучаем неизвестную функциональную зависимость между у и х. Например, у это σ_в; х это t^о; таким образом σ_в = f(t^о). В результате серии экспериментов провели n измерений этих величин и получили таблицу вида табл. 6.1.

Таблица 6.1

Пример таблицы с опытными данными

х0	х1	х2	…	хi	…	хn
у0э	У1э	у2э	…	уiэ	…	уnэ

Задача состоит в том, чтобы найти приближенную зависимость

(6.3)

значения которой при х = х_i (i = 0, 1,…, n) мало отличаются от опытных данных y_iэ.

Приближенная функциональная зависимость (6.3), полученная на основании экспериментальных данных, называется эмпирической формулой.

График эмпирической зависимости, вообще говоря, не проходит через опытные точки (х_i, y_i) как в случае интерполяции. Это приводит к тому, что экспериментальные данные в некоторой степени сглаживаются.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов:

а) подбор общего вида этой формулы;

б) определение наилучших значений содержащихся в ней параметров.

Общий вид формулы иногда известен из физических соображений. Например, для упругой деформации связь между напряжением σ и относительной деформацией ε определяется законом Гука . Здесь Е - модуль упругости. Задача сводится к определению одного неизвестного параметра Е.

Если характер зависимости неизвестен, то вид эмпирической формулы может быть произвольный. Предпочтение обычно отдается наиболее простым формулам, обладающим достаточной точностью. Они первоначально выбираются из геометрических соображений: экспериментальные точки наносятся на график и примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графиком известных функций. Это может быть многочлен, показательная функция, логарифмическая функция и т.д. Успех здесь в значительной мере определяется опытом и интуицией исследователя.

Простейшей эмпирической формулой является линейная зависимость

. (6.4)

Формула квадратного трехчлена

. (6.5)

Степенная функция:

. (6.6)

На рис. 6.2 приведен пример опытных данных, когда экспериментальные точки расположены вблизи графика параболы. Поэтому следует использовать эмпирическую формулу вида (6.5).

Рис. 6.2. Пример расположения опытных точек на графике

Будем считать, что тип эмпирической формулы выбран и ее можно

записать в общем виде следующим образом:

, (6.7)

где φ - известная функция; - неизвестные постоянные параметры.

Значения этих параметров должны быть такими, чтобы эмпирическая формула (6.7) давала хорошее приближение к экспериментальным значениям y_iэ.

Значения эмпирической функции (6.7) в точках х_i будем обозначать y_i:

.

Напомним, что y_iэ - экспериментальные значения, а y_i - расчетные значения функции.

Отклонения y_i от y_iэ будем обозначать ε_i:

(6.8)

i = 0,1,…, n; n - количество опытных точек; m - количество членов в эмпирической формуле; ε_i - отклонения.

Задача нахождения наилучших значений параметров сводится к некоторой минимизации отклонений ε_i. Существует несколько способов решения этой задачи. Мы рассмотрим метод наименьших квадратов (МНК).

Дата добавления: 2014-01-04