Экономико-математическое моделирование

Математическое моделирование экономических явлений и про­цессов является важным инструментом экономического анализа. Модель – условный образ объ­екта управления, она конструируется субъектом управления так, чтобы отобразить характеристики объекта – свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры, существенные для цели управления.

Содержание метода моделирования составляют конструиро­вание модели на основе предварительного изучения объекта и выде­ления его существенных характеристик, экспериментальный или теоретический анализ модели, сопоставление результатов с данными об объекте, корректировка модели.

В экономическом анализе используются мате­матические модели, описывающие изучаемое явление или процесс с помощью уравнений, неравенств, функций и других математи­ческих средств. Различают математические модели с количе­ственными характеристиками, записанными в виде формул; числовые модели с конкретными числовыми характеристиками; ло­гические, записанные с помощью логических выражений, и графи­ческие, выраженные в графических образах.

Экономико-математическая модель должна быть адекватна дей­ствительности, отражать существенные стороны и связи изучаемого объекта. Процесс моделирования можно условно подразделить на три этапа:

§ анализ теоретических закономерностей, свойственных изуча­емому явлению или процессу, и эмпирических данных о его струк­туре и особенностях;

§ определение методов, с помощью которых можно решить за­дачу;

§ анализ полученных результатов.

Важным моментом первого этапа моделирования является четкая формулировка конечной цели построения модели, а также опреде­ление критерия, по которому будут сравниваться различные вари­анты решения. Такими критериями могут быть: наибольшая прибыль, наименьшие издержки производства, максимальная загрузка оборудования, производительность труда и др. В задачах математического программирования такой критерий отражается целевой функцией.

Например, необходимо проанализировать производственную программу выработки продукции с целью выявления резервов по­вышения прибыли от воздействия структурного сдвига в ассорти­менте. Критерием оптимальности в данном случае при построении экономико-математической модели выступает максимум прибыли. Уравнение целевой функции будет иметь вид:

где x_j – количество производимой продукции j -го вида;

p_j – прибыль, получаемая от производства единицы продукции j -го вида.

При постановке задач математического программирования обычно предполагается ограниченность ресурсов, которые необхо­димо распределить на производство продукции. Поэтому важно определить, какие ресурсы являются для изучаемого процесса решающими и в то же время лимитирующими, каков их запас. Если все виды производственных ресурсов, к которым относятся сырье, трудовые ресурсы, мощность оборудования и др., используются для выпуска продукции, то необходимо знать расход каждого вида ре­сурса на единицу продукции.

Все ограничения, отражающие экономический процесс, должны быть непротиворечивыми, т.е. должно существовать хотя бы одно решение задачи, удовлетворяющее всем ограничениям. В качестве ограничений при построении экономико-математи­ческой модели выступает система неравенств, имеющая следующий вид:

где a_ij – норма расхода i -го производственного ресурса на производство единицы j -го вида продукции;

ω _i – запасы i -го вида производственного ресурса на рассматриваемый период времени.

Объединяя уравнение целевой функции и систему ограничений в единую модель, получим линейную экономико-математическую модель ассортиментной задачи:

Не для всякой экономической задачи нужна собственная модель. Некоторые процессы с математической точки зрения однотипны и могут описываться одинаковыми моделями. Например, в линейном программировании, теории массового обслуживания и других суще­ствуют типовые модели, к которым приводится множество кон­кретных задач.

Вторым этапом моделирования явля­ется выбор наиболее рационального математического метода для решения задачи. Лучшей моделью является не самая сложная и самая похожая на реальное явление или процесс, а та, которая позволяет получить самое рациональное решение и наиболее точные экономические оценки.

Третьим этапом моделирования является всесторонний анализ ре­зультата, полученного при изучении экономического явления или процесса. Окончательным критерием достоверности и качества мо­дели являются практика, соответствие полученных результатов и выводов реальным условиям производства, экономическая содержа­тельность полученных оценок. В случае несоответствия полученных результатов реалиям необходимо проводить экономический анализ причин несоответствия, к которым могут быть отнесены недостаточная достоверность информации, а также не­соответствие используемых математических средств и особен­ностям изучаемого объекта. После того как причина определена, в модель должны быть внесены соответ­ствующие коррективы и решение задачи повторяется.

Моделирование факторной системы основывается на следующих экономических критериях выделения факторов как эле­ментов факторной системы: причинности, достаточной специфич­ности, самостоятельности существования, учетной возможности.

В детерминированном моделировании факторных систем можно выделить небольшое число типов конечных факторных систем, наи­более часто встречающихся в анализе хозяйственной деятельности:

§ аддитивные модели:

§ мультипликативные модели:

§ кратные модели:

где у – результативный показатель (исходная факторная система);

х_i – факторы (факторные показатели).

Применительно к классу детерминированных факторных систем различают следующие основные приемы моделирования:

1. Метод удлинения факторной системы. Исходная факторная система Если а представить в виде суммы отдельных слага­емых-факторов то – конечная факторная система вида

2. Метод расширения факторной системы. Исходная факторная система Если и числитель, и знаменатель дроби «расши­рить» умножением на одно и то же число, то получим новую фак­торную систему:

т.е. мультипликативную модель вида

3. Метод сокращения факторной системы. Исходная факторная система Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число, то получим новую факторную систему:

В данном случае имеем конечную факторную систему вида

Сложный процесс формирования уровня изуча­емого показателя хозяйственной деятельности может быть разложен различными приемами на составляющие и пред­ставлен в виде модели детерминированной факторной системы.

Детерминированное моделирование факторных систем – это простое и эффективное средство формализации связи экономических показателей: оно служит основой для количе­ственной оценки роли отдельных факторов в динамике изменения обобщающего показателя. Размах количественных из­менений экономических показателей можно выяснить только мето­дами стохастического моделирования массовых эмпирических данных.

Необходимость включения математико-статистических методов в методику анализа хозяйственной деятельности предприятий за­висит от значимости решаемых коли­чественных (статистических) задач, для решения которых применяются математико-статистические методы стохастического моделирования: группировка многомерных наблюдений, корреляционный и регрес­сионный анализ, таксономический метод, дисперсионный анализ, методы причинного анализа, компонентный анализ.

Корреляционно-регрессионный анализ – классический метод сто­хастического моделирования хозяйственной деятельности, изу­чает взаимосвязи показателей хозяйственной деятельности, когда зависимость между ними не является строго функциональной и ис­кажена влиянием посторонних, случайных факторов. В зависимости от количества исследуемых пока­зателей различают парные и многофакторные модели корреляционно-регрессионного анализа.

Основные модели корреляционного анализа: коэффициент парной корреляции, коэффициент частной корреляции, коэффициент мно­жественной корреляции, коэффициент детерминации.

Линейный коэффициент парной корреляции (ρ) определяется по формуле:

где x, у – значения факторного и результативного показателей соот­ветственно;

– средние значения соответствующих показателей;

– средние квадратические отклонения (стандартные откло­нения показателей х и у);

n – количество наблюдений в совокупности.

Часто в анализе хозяйственной деятельности при изучении связи между показателями х и у требуется исключить воздействие третьего показателя z, выступающего как общий фактор изменения анализи­руемых показателей.

Для этого используется коэффициент частной корреляции (), свойства которого совпадают со свойствами коэф­фициента парной корреляции:

где – коэффициенты парной корреляции между соответствующими показателями.

Коэффициент множественной корреляции (R) характеризует тес­ноту связи между результативным показателем и набором факторных показателей:

или

где – общая дисперсия эмпирического ряда, характеризующая общую вариацию результативного показателя (y) за счет факторов;

– остаточная дисперсия в ряду у, отражающая влияние всех фак­торов, кроме х;

– среднее значение результативного показателя, вычисленное по исходным наблюдениям;

– среднее значение ре­зультативного показателя, вычисленное по уравнению регрессии.

Коэффициент множественной корреляции принимает только по­ложительные значения от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем больше теснота связи, и, наоборот, чем ближе к 0, тем зави­симость меньше. При значении говорят о малой зависимости между величинами, при значении 0,3 < R < 0,6 – о средней тесноте связи, при R > 0,6 – о наличии существенной связи.

Квадрат коэффициента множественной корреляции называется коэффициентом детерминации (D): .

Коэффициент детерми­нации показывает, какая доля вариации результативного показателя связана с вариацией факторных показателей. В основе расчета ко­эффициента детерминации и коэффициента множественной корре­ляции лежит правило сложения дисперсий, согласно которому общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из групповых дисперсий :

Математические модели корреляционного анализа в форме ко­эффициентов имеют ограниченные аналитические возможности. Зная лишь направление ковариации показателей и тесноту связи, невозможно определить закономерности формирования уровня ре­зультативного показателя под влиянием исследуемых факторов, оце­нить интенсивность их влияния, классифицировать факторы на ос­новные и второстепенные.

Для этих целей используются модели регрессионного анализа.

Линейная модель регрессионного анализа имеет вид:

где – результативный показатель;

– факторные модели;

– коэффициенты регрессий.

Коэффициенты регрессии показывают, на сколько единиц уровень результативного показателя отклоняется от своего среднего зна­чения, если значения факторного показателя отклоняются от сред­него, равного нулю, на одно стандартное отклонение.

Дата добавления: 2014-01-04