Правило Лопиталя

♦ Теорема 18.7 (1-е правило Лопиталя [5]). Пусть функции и определены и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки a, и , в . Тогда, если существует , то существует и .

Доказательство. Будем считать, что a – конечное число. Доопределим функции и в точке . Пусть . Тогда эти функции будут непрерывны в точке a. На функции и непрерывны, на дифференцируемы. По теореме Коши существует точка в которой , ,

, (18.4)

при условии, что предел в правой части равенства существует. ■

☼ Замечание 18.6. Может быть так, что существует , но не существует . ☼

J Пример 18.3. , поэтому .

Но не существует. J

☼ Замечание 18.7. Если выражение представляет собой неопределённость вида и функции и удовлетворяют условиям теоремы Лопиталя, то

. ☼

♦ Теорема 18.8 (2-е правило Лопиталя). Пусть функции и определены и дифференцируемы в окрестности точки и , , в этой окрестности. Тогда, если существует , то существует и .

Доказательство аналогично доказательству теоремы 18.7. ■

☼ Замечание 18.8. Если , то замена приведёт к :

. ☼

J Пример 18.4. 1) , .

2) для . J

Дата добавления: 2014-01-04