Элементарные понятия о случайных событиях, величинах и функциях в математике сводятся к следующим определениям

Характеристики дискретной случайной величины

Сфера использования.

Дискретная случайная величина - это такая случайная величина, реализации которой выражаются целочисленно. Такие реализации называются событиями, под которыми понимается некоторое, интересующее нас, состояние объекта. Проверка наличия такого состояния проводится в процессе «испытания», в рамках статистического эксперимента.

Его проведение заключается в том, что соответствующим методом определяют наличие или отсутствие некоторого состояния в каждом очередном испытании, то есть проверке состоянияобъекта, и соотносят его с общим количеством N проверяемых объектов.

Далее определяется относительная частота (частость) наступления интересующего нас события А:

P* (А) = n/N (13.1)

Если, при повторении испытаний, значения частостей будут, примерно, одинаковы, то говорят об устойчивой частости.

Устойчивая частость называется вероятностью P(А).

P* (А) = P (А) (13.2)

В математических формализациях дискретной случайной величины подходят весьма требовательно: как в первичной формализации, так и во всех последующих. Идеально вероятностных процессов на практике не бывает, поэтому во всех случаях необходимо устанавливать меру доверия к экспериментальным результатам.

Кроме того есть ещё и многие производные результаты, которые можно вычислить с помощью «математических законов».

Под событием понимается всякий факт, который может произойти или не произойти в очередном наблюдении (испытании).

Теория вероятностей рассматривает события в тесной связи с теми условиями, в которых они наступают.

Совокупность условий, которые определяют закономерности проявлений вероятностного (случайного) процесса называется комплексом основных условий.

Системно организованное наблюдение реального вероятностностного процесса называется статистическим экспериментом.

При этом подразумевают, что число зарегистрированных реализаций случайного процесса должно быть достаточным, чтобы охарактеризовать закономерности процесса. То есть статистическая выборка должна быть достаточно представительна.

Формально различают события достоверные и события невозможные.

Достоверным называется такое событие, которое наступает каждом испытании.

Достоверное событие обозначим через U

Невозможным называется событие, которое никогда не наступает при при проведении испытаний.

Случайные события обозначаются буквами: А, В, С... и т.д.

В практике использования дискретной случайной величины для обобщения состояний объектов применяют теоремы теории вероятностей, которые позволяют вычислить вероятность сложных событий (то есть комбинаций простых событий ), когда известна вероятность появления простых событий.

13.2.Теорема сложения вероятностей применяется для несовместных событий. Если события А и В несовместны, то они не появятся, в очередном испытании. Понятие «суммы событий» означает обязательное появление в очередном испытании: либо события А, либо события В.

Формулируется теорема сложения вероятностей следующим образом: вероятность суммы (объединения) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

По приведенной формуле определяется, какова вероятность того, что в очередном испытании появится: либо событие А, либо событие В

Если события А и В совместны, то используется другая формула:

т. е. вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления.

Теорема умножения вероятностей.

Прежде, чем рассматривать теорему, необходимо пояснить понятия о независимых и зависимых событиях. Событие А называется независимым от события В, если его вероятность не зависит от того, произошло событие В или нет. В противном случае событие А называется зависимым от события В.

Теорема: вероятность произведения, или совместного наступления двух событий, равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении того, что первое событие произошло:

Р (АВ) = Р (А) Р (А/В) — Р (В) Р (В/А), (12.5)

где Р (А/В) — условная вероятность появления события В в предположении, что событие А произошло. Следствия из теоремы умножения вероятностей:

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Следствие 2. Вероятность произведения независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий

Р (АВ,.. N) = Р (А) Р (В)...Р (N) (13.5).

Законы распределения дискретных случайных величин обеспечивают вычисление вероятностей различных ситуаций, связанных с использование случайных процессов событийного характера. Рассмотрим примеры.

Биномиальное распределение. Пусть случайная величина Х выражает число появлений события А при n независимых испытаний, проводимых в одинаковых условиях. Вероятность появления события А постоянна и равна р. Следовательно, вероятность непоявления события А равна q = 1- р.

Сложное событие X = к состоит в том, что в n испытаниях элементарное событие А наступит ровно к раз.

С_n^k - число сочетаний из n элементов по k (13.6)

Распределение Пуассона применяется при достаточно большом количестве независимых испытаний, в каждом из которых вероятность p появления события А очень мала (p – менее 0,1).

Рис. 11.1. Распределение Пуассона

Для применения распределения Пуассона необходимо, чтобы поток событий удовлетворял требованиям: стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

Стационарность - означает, что если выбрать на участках временного процесса одинаковые по продолжительности макроотрезки времени, то число событий на этих участках должно быть, примерно, одно и то же.

Ординарность - означает, что появления нескольких событий в один момент времени невозможно.

Отсутствие последействия означает, что предыдущие размещения событий (на отрезках времени), не влияет на размещение последующих событий (по отрезкам времени).

Термин пуассоновский поток, или пуассоновский процесс означает случайный процесс, описывающий моменты наступления каких-либо случайных событий, в котором число событий, происходящих в течение любого фиксированного интервала времени имеет распределение Пуассона, и числа событий, происходящих в непересекающиеся промежутки времени, независимы.

Дата добавления: 2014-01-05