Пример 2. Функция ln x есть первообразная для , x>0, а функция ln(-x) есть первообразная для , x<0

Пример 1.

Функция ln x есть первообразная для , x>0, а функция ln (-x) есть первообразная для , x<0.

Функция есть первообразная для f(x)=|x|,

Теорема 1. Если F(x) есть первообразная для f(x) на (a,b), то для любой константы функция F(x) + c также есть первообразная для f(x) на (a,b).

Доказательство:

(F(x) + c)’=F’(x) + (c)’ = F’(x)=f(x), .

Следовательно, по определению первообразной функция F(x) + c есть первообразная для f(x) на (a,b).

Теорема 2. Пусть F₁(x) и F₂(x) две различные первообразные для f(x) на (a,b). Тогда .

Доказательство:

(F₁(x) – F₂(x))’ = (F₁(x))’ – (F₂(x))’ = f(x) – f(x) = 0, .

По следствию из теоремы Лагранжа (см. 1 семестр): F₁(x) – F₂(x) = c,
F₁(x) = F₂(x) + c.

Теорема доказана.

Следовательно, если F(x) – одна из первообразных для f(x) на (a,b), то множество всех первообразных есть {F(x) + c, }.

Определение. Если у функции f(x) существует хотя бы одна первообразная F(x) на (a,b), то неопределенным интегралом функции f(x) на (a,b) называется множество всех первообразных функции f(x).

Неопределенный интеграл обозначается так:

Из доказанных теорем следует, что где F(x) – одна из первообразных, а - произвольная константа.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1).

2). Замена переменной в неопределенном интеграле.

Пусть F(x) – первообразная для f(x) на (a,b), функция и .

Тогда справедлива формула:

Доказательство.

Докажем, что .

Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции

Следовательно, функция есть первообразная для на .

Замечание. Формулу замены переменных следует понимать так: при замене переменной множество первообразных для f(x) на (a,b) переходит во множество первообразных дляна .

3). Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно диффенцируемы на (a,b). Тогда справедлива следующая формула:

Доказательство.

Доказательство существования первообразных для функций и будет приведено в следующих параграфах (см.)

Пусть F₁(x) и F₂(x) соответственно некоторые первообразные для и .

Тогда по определению первообразной и правилу дифференцирования произведения двух функций +=, .

Следовательно, по следствию из теоремы Лагранжа:

F₁(x) + F₂(x) = + c, где c – некоторая константа, или F₁(x) = - F₂(x).

Так как из данного равенства следует, что

Замечание: Формулу интегрирования по частям следует понимать так: множество функций {F₁(x) + C₁}, стоящих в левой части равенства, совпадает со множеством функций {- F₂(x) + c₃}, стоящих в правой части, где с₃ = с – с₂, а с₁ и с₂ – произвольные числа.

Дата добавления: 2014-01-05