Экстремумы

Наибольшее и наименьшее значение функции. В Maple для исследования функции на экстремум имеется команда extrema(f,{cond},x,'s'), где f - функция, экстремумы которой ищутся, в фигурных скобках {cond} указываются ограничения для переменной, х – имя переменной, по которой ищется экстремум, в апострофах 's' – указывается имя переменной, которой будет присвоена координата точки экстремума. Если оставить пустыми фигурные скобки {}, то поиск экстремумов будет производиться на всей числовой оси.

Пример:

Подключаем библиотеку

>readlib(extrema);

Определяем экстремум функции

>extrema(arctan(x)-ln(1+x^2)/2,{},x,’x0’);

Определяем точку экстремума этой функции

>x0;0'tan(x)-ln(1+x^2),{},x,'

Для проверки построим график данной функции

>plot(arctan(x)-ln(1+x^2)/2, x=-1..5, y=-0.4..0.5);

Команда extrema не может дать ответ на вопрос, какая из точек экстремума есть максимум, а какая – минимум.

Для нахождения максимума функции f(x) по переменной х на интервале используется команда maximize(f,x,x=x1..x2), а для нахождения минимума функции f(x) по переменной х на интервале используется команда minimize(f, x, x=x1..x2).

>maximize(arctan(x)-ln(1+x^2)/2, x);

>minimize(arctan(x)-ln(1+x^2)/2, x);

-∞

Недостаток этих команд в том, что они выдают только значения функции в точках максимума и минимума, соответственно. Поэтому для того, чтобы полностью решить задачу об исследовании функции y=f(x) на экстремумы с указанием их характера (max или min) и координат (x, y) следует сначала выполнить команду:

>extrema(f, {}, x, ‘s’);

>s;

Затем выполнить команды maximize(f,x); minimize(f,x). После этого будут полностью найдены координаты всех экстремумов и определены их характеры (max или min). Координаты точек максимума или минимума можно получить, если в параметрах этих команд после переменной записать через запятую новую опцию location. В результате в строке вывода после самого максимума (минимума) функции будут в фигурных скобках указаны координаты точек максимума (минимума). Например:

>y:=x^4-x^2;

>minimize(y,x,location);

В строке вывода получились координаты минимумов и значения функции в этих точках.

>y:=-x^2+x-10;

>minimize(y,x,location);

В строке вывода получились координаты максимума и значение функции в этой точке.

Построим график

>plot(y,x=-0.5..1.5);

Команды extrema, maximize и minimize обязательно должны быть загружены из стандартной библиотеки командой readlib(name).

Дата добавления: 2014-01-05