Базис и ранг системы векторов

Рассмотрим систему векторов . Максимально независимой подсистемой векторов (18) называется частичный набор векторов этой системы, удовлетворяющий двум условиям:

1. Векторы этого набора линейно независимы.

2. Любой вектор системы (18) линейно выражается через векторы этого набора.

Справедлива теорема, утверждающая, что все максимально независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов.

Максимально независимая подсистема системы векторов (18) называется ее базисом; векторы, входящие в базис, называются базисными векторами.

Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса. Если ранг системы векторов меньше числа ее векторов, то она может иметь несколько базисов.

Всякая система векторов пространства , содержащая более векторов, линейно зависима.

Понятие базиса распространяется и на пространство , которое является системой, содержащей всю бесконечную совокупность -мерных векторов.

Определение. Система векторов называется базисом пространства , если:

1. Векторы этой системы линейно независимы.

2. Всякий вектор из линейно выражается через векторы данной системы.

Теорема. Линейно независимая система векторов в пространстве является базисом тогда и только тогда, когда число векторов этой системы равно .

Дата добавления: 2014-01-05