Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Диагональная форма матрицы оператора

Наиболее простой вид матрица линейного оператора имеет, когда базисом является система ее собственных векторов, т.е. все ее собственных значений различны. В этом случае , при и , т.е. матрица является диагональной:

.

Следовательно, для того чтобы привести матрицу оператора к диагональному виду согласно формуле , в качестве матрицы нужно взять матрицу, столбцами которой должны быть собственные векторы оператора .

Пример. Привести к диагональному виду матрицу .

Решение. Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид:

, откуда , , .

Найдем собственные векторы, подставляя найденные собственные значения в матричное уравнение . Для получаем

,

отсюда . Полагая произвольной константой, получаем собственный вектор . Подстановка второго собственного значения приводит к уравнению

,

Откуда , полагая получаем второй собственный вектор матрицы : . Поскольку и - произвольные числа, одному собственному значению может соответствовать несколько собственных векторов разной длины.

Поскольку собственные значения этой матрицы , подобная ей диагональная матрица имеет вид:

Проверим это по формуле . Составим матрицу , столбцами которой являются собственные векторы:

.

Найдем определитель матрицы , а обратная матрица имеет вид:

По формуле получаем:

.

 

4.6. Квадратичные формы.

 

4.6.1. Основные сведения о квадратичных формах.

Определение. Квадратичной формой от переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

(50)

Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы - действительные числа, причем .

Будем называть симметрическую матрицу

(51)

матрицей квадратичной формы (50). Квадратичная форма (50) может быть представлена в матричной форме:

 

(52)

 

где и - вектор-строка и вектор-столбец переменных.

В самом деле

 

 

.

Пример. Дана квадратичная форма . Записать ее в матричном виде.

Решение. Матрица этой квадратичной формы имеет следующий вид: на главной диагонали стоят коэффициенты при квадратах переменных, а симметричные относительно нее недиагональные элементы равны половинам соответствующих коэффициентов перекрестных произведений переменных данной квадратичной формы. Следовательно:

 

 

4.6.2. Преобразование квадратичных форм.

Выясним, как изменяется квадратичная форма при невырожденном линейном преобразовании переменных.

Пусть векторы-столбцы переменных и связаны линейным соотношением

где , есть некоторая невырожденная матрица -го порядка. Тогда квадратичная форма



.

Итак, при невырожденном линейном преобразовании матрица квадратичной формы принимает вид

(53)

 

Пример.Для квадратичной формы предыдущего примера найти квадратичную форму, полученную из данной линейным преобразованием , , .

Решение. Матрица данного линейного преобразования имеет вид:

.

Применяя формулу (53) к матрице из предыдущего примера получаем:

,

т.е. квадратичная форма принимает вид:

.

 

 

4.6.3. Канонический и нормальный виды квадратичной формы.

Определение.Квадратичная форма называется канонической или имеет канонический вид, если все ее коэффициенты при :

(54)

т.е. матрица является диагональной.

 

Теорема.Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

 

Определение.Квадратичная форма с действительными коэффициентами имеет нормальный вид, если в ее каноническом виде все коэффициенты равны 1 или -1.

 

Существуют различные методы приведения квадратичной формы к каноническому виду. Рассмотрим один из них

Метод Лагранжа. Заключается в выделении полных квадратов: сначала формируется полный квадрат из слагаемых, содержащих , затем из слагаемых, содержащих и т.д. Рассмотрим это на конкретном примере.

 

Пример.Привести к каноническому и нормальному виду квадратичную форму

 

Решение. Применяя метод Лагранжа, получаем:

 

 

 

.

где , , . При приведении к нормальному виду в этой квадратичной форме нужно использовать замену переменных , , . Тогда получаем:

 

Теорема.(Закон инерции квадратичных форм). При любом способе приведения квадратичной формы (50) с действительными коэффициентами к нормальному виду число квадратов с коэффициентами 1 получается одно и то же, как и число квадратов с коэффициентами -1.

 

4.6.4. Критерий знакоопределенности квадратичной формы.

Определение.Квадратичная форма (50) называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений переменных , не равных одновременно нулю, указанная форма имеет положительные (отрицательные) значения.

Оба этих случая объединены под названием знакоопределенных форм. Если квадратичная форма (50) как положительные, так и отрицательные значения, то она называется знакопеременной.

Квадратичная форма от переменных является положительно определенной, тогда и только тогда, если ее нормальный вид содержит ровно квадратов, т.е. имеет вид . Понятно, что все собственных значений матрицы квадратичной формы должны быть положительными.

Аналогично в нормальный вид отрицательно определенной все квадратов должны входить со знаком минус, т.е. все собственных значений матрицы квадратичной формы должны быть отрицательными.

Миноры

, , ,…, (55)

называются главными минорами матрицы квадратичной формы (50).

 

Теорема. (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма (50) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия

(56)

Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, причем .

 

Пример. Найти по критерию Сильвестра знакоопределенность квадратичной формы .

 

Решение. Матрица этой квадратичной формы имеет вид:

 

.

 

Последовательно вычисляем ее миноры

 

, , .

 

Поскольку критерий Сильвестра не соблюден, то данная квадратичная форма является знакопеременной.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Диагональная форма матрицы оператора

Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1881; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования!
Генерация страницы за: 0.097 сек.