Декартовые прямоугольные системы координат

Определение 3.11.1. Базис линейного пространства называется ортонормированным, если все базисные векторы имеют единичную длину и попарно перпендикулярны.

Определение 3.11.2. Аффинная система координат с ортонормированным базисом называется декартовой прямоугольной системой координат (ДПСК).

В трехмерном пространстве ДПСК обычно обозначается Oxyz, причем в соответствии с определением , . Координатная ось ДПСК называется декартовой осью, причем Ox — ось абсцисс, Oy — ось ординат, Oz — ось аппликат.

Поскольку декартовая прямоугольная система координат — частный случай аффинной системы координат, то, в частности, для любого вектора в пространстве справедливо соотношение

,

т. е. декартовые координаты вектора в трехмерном пространстве представляют собой упорядоченную тройку чисел, первое из которых есть алгебраическая проекция данного вектора на ось абсцисс, второе — алгебраическая проекция данного вектора на ось ординат, и третье — алгебраическая проекция указанного вектора на ось аппликат.

Координатные плоскости разбивают пространство на восемь октантов. В любом из них каждая из координат произвольной точки сохраняет постоянный знак.

Понятно, что декартовые координаты вектора на плоскости представляют собой упорядоченную пару чисел, первое из которых есть алгебраическая проекция этого вектора на ось абсцисс, а второе — алгебраическая проекция данного вектора на ось ординат, т. е.

.

На декартовой оси любой вектор определяется координатой, равной алгебраической проекции данного вектора на ось абсцисс.

Определение 3.11.1. Углом наклона вектора к декартовой оси называется наименьший угол, на который нужно повернуть орт декартовой оси до его совпадения с ортом данного вектора после приведения их к общему началу (рис.3.11.1, 3.11.2).

Теорема 3.11.1. Алгебраическая проекция вектора на декартовую ось равна произведению его длины на косинус угла наклона этого вектора к данной оси:

=,

где — угол наклона вектора к декартовой оси.

Доказательство. Пусть угол a — острый (рис. 3.11.1). В этом случае

==.

Допустим, что угол a — тупой (рис. 3.11.2). Тогда

=

.

Рис. 3.11.1

Рис. 3.11.2

Когда , то , и указанная формула, очевидно, верна.

Дата добавления: 2014-01-05