Полярная система координат

Для определения положения точки на плоскости, кроме рассмотренных декартовых и аффинных систем координат, применяют и другие системы, например, полярную систему координат.

Полярной системой координат на плоскости называется система, определяющими элементами которой являются: 1) точка O — полюс; 2) луч Or, исходящий из полюса — полярная ось; 3) единица измерения длин на полярной оси; 4) единица измерения углов; 5) положительное направление отсчета углов (рис. 3.12.1).

Обычно углы измеряют в радианах и под положительным направлением их отсчета понимают направление, противоположное вращению часовой стрелки.

Полярным радиусом r точки М называется расстояние от этой точки М до полюса O, т. е. r = d (O, M), 0 £ r < + ¥.

Полярным углом j некоторой точки М, отличной от полюса, называется угол между полярной осью Or и лучом ОМ

j = Ð(Or, OM), 0 £ j < 2 p.

Упорядоченная пара чисел (r, j), взятых в указанном порядке, называется полярными координатами точки М, при этом используется обозначение М (r, j).

Отметим, что полярный радиус полюса равен 0, а полярный угол полюса не определен.

При ограничениях 0 £ r < + ¥, 0 £ j < 2 p между точками плоскости, отличными от полюса, и упорядоченными парами (r, j) существует взаимно однозначное соответствие.

В некоторых случаях полярный угол рассматривают в следующих пределах: – p < j £ p. Иногда вообще отказываются от рассмотрения ограничений на полярный угол и его измеряют с точностью до ± 2 pn, где n — натуральное число.

Установим зависимость между полярными и декартовыми координатами. С этой целью предположим, что полярные и декартовы координаты связаны следующим образом: начало декартовой системы координат совпадает с полюсом О, базисный вектор совпадает с масштабным вектором полярной оси Or, ось O направлена так, чтобы система координат была правой (рис. 3.12.2.). Тогда полярные координаты (r, j) и декартовые координаты (x, y) одной и той же точки М плоскости связаны соотношениями

x = r cos j, y = r sin j (3.12.1)

и

r =, cos j =, sin j =. (3.12.2)

Отметим, что формулы (3.12.1) получаются в силу определения косинуса и синуса, а формулы (3.12.2) — путем простых преобразований соотношений (3.12.1).

Дата добавления: 2014-01-05