Определитель произведения двух матриц

Пусть дана квадратная матрица . Введем вспомогательную квадратную матрицу , в которой единственный отличный от нуля элемент стоит в -й строке и -м столбце.

В соответствии с формулой (2.7.4) получаем

.

Если при вычислении произведения использовать формулу (2.7.5), то

,

Следовательно, умножение матрицы А слева (справа) на матрицу эквивалентно прибавлению к -й строке (-му столбцу) матрицы А ее
-й строки (i -го столбца) предварительно умноженной (умноженному) на число g.

Определение 2.8.1. Описанные преобразования матрицы называются элементарными преобразованиями, а матрица — матрицей элементарного преобразования.

В силу свойств определителей элементарные преобразования матрицы не изменяют величину ее определителя.

Определение 2.8.2. Правой (левой) унитреугольной матрицей называют треугольную матрицу, у которой все элементы ниже (выше) главной диагонали равны нулю, а по главной диагонали стоят единицы.

— правая унитреугольная матрица,

— левая унитреугольная матрица.

Умножая произвольную матрицу слева на матрицу , получаем

,

а при умножении слева на матрицу , имеем

.

В силу свойств определителей, очевидно, что

.

Теорема 2.8.1. Определитель произведения двух квадратных матриц и равен произведению определителей сомножителей:

.

Доказательство. Для доказательства построим вспомогательную матрицу

,

(как определитель ступенчатой матрицы).

Построим правую унитреугольную матрицу

,

причем в силу свойств унитреугольных матриц имеем .

Умножая блочные матрицы, получаем

.

Поскольку

,

следовательно, окончательно получаем, что .

Дата добавления: 2014-01-05