Скалярное произведение векторов

Определение 3.16.1. Углом между векторами и называется наименьший угол между векторами и , равными соответственно и и имеющими общее начало (рис. 3.16.1).

Рис. 3.16.1

Если ненулевые векторы сонаправлены, то угол между ними полагают равным 0, если ненулевые векторы противоположно направлены, то угол между ними считают равным p.

Определение 3.16.2. Скалярным произведением двух векторов и называется произведение их модулей и косинуса угла между и , т. е.

(3.16.1)

Непосредственно из определения следует, что , поэтому , причем , если .

Число называют скалярным квадратом вектора .

Пусть — орт вектора , а — орт вектора . В соответствии с теоремой 3.11.1 имеем

,

,

поэтому в силу определения скалярного произведения получаем

. (3.16.2)

Теорема 3.16.1 (свойства скалярного произведения). Для любых трех векторов и произвольного числа l справедливы следующие свойства:

1. (коммутативность);

2. (ассоциативность относительно числового
множителя);

3. (дистрибутивность относительно суммы
векторов);

4. , если — ненулевой вектор; , если — нулевой вектор.

Доказательство. Первое свойство непосредственно вытекает из определения скалярного произведения. Второе и третье свойства справедливы в силу соотношения (3.16.2) и леммы 3.10.1. Действительно, имеем

,

,

где орт . Наконец, четвертое свойство вытекает непосредственно из определения.

Теорема 3.16.2. Скалярное произведение двух векторов, заданных в произвольной аффинной системе координат своими координатами и , находится по формуле

=+ (α ₁ β ₂ + α ₂ β ₁)++

+ (α ₁ β ₃ + α ₃ β ₁)+ (α ₂ β ₃ + α ₃ β ₂)+. (3.16.3)

Доказательство. Формула (3.16.3) получается в результате простых вычислений, если воспользоваться представлениями заданных векторов через базис , и свойствами скалярного произведения.

Величины =называются метрическими коэффициентами системы координат .

Таким образом, для вычисления скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами в аффинной системе координат, необходимо кроме координат этих векторов знать и метрические коэффициенты системы координат.

Следствие 3.16.1. Модуль произвольного вектора в произвольной аффинной системе координат вычисляется по формуле

==. (3.16.4)

Следствие 3.16.2. Угол j между двумя векторами и в аффинной системе координат находится по формуле

j =, (3.16.5)

где для вычисления выражения под знаком арккосинуса следует воспользоваться формулами (3.16.3) и (3.16.4).

Следствие 3.16.3. Для векторов, заданных своими координатами в ДПСК, справедливы формулы

n = 3: , ,

, (3.16.6)

=, (3.16.7)

j ==; (3.16.8)

n = 2: , ,

, =,

j =Ð() =; (3.16.9)

n = 1:

. (3.16.10)

Поскольку расстояние между двумя точками A (x_A, y_A, z_A) и B (x_B, y_B, z_B) в трехмерном пространстве равно модулю вектора (x B – x A, y B – y A, z B – z A), то в силу (3.16.7) получаем формулу для нахождения расстояния между названными точками в заданной ДПСК:

d(A,B) =. (3.16.11)

Аналогично расстояние между двумя точками A (x_A, y_A) и B (x_B, y_B) на плоскости находятся по формуле

d(A,B) =, (3.16.12)

а расстояние между двумя точками A(x A) и B(x B) на прямой соответственно по формуле

d(A,B) = | x_B – x_A |. (3.16.13)

Теорема 3.16.3. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух ненулевых векторов в трехмерном пространстве и , заданных в ДПСК своими координатами, является равенство

= 0. (3.16.14)

Доказательство непосредственно следует из определения скалярного произведения и выражения (3.16.6).

Теорема 3.16.4. Для декартовых прямоугольных координат вектора справедливы соотношения

, , . (3.16.15)

Доказательство. Пусть ,,— ортонормированный базис. Вектор , поэтому

;

;

.

Рассмотрим в ДПСК вектор и его орт (рис. 3.16.2). Определим углы .

Рис. 3.16.2

Определение 3.16.3. Косинусы cos a, cos b, cos g называются направляющими косинусами вектора .

Теорема 3.16.5. Направляющие косинусы вектора являются декартовыми координатами орта данного вектора.

Доказательство. Пусть — орт вектора , причем . В силу теоремы 3.16.4 и определения скалярного произведения имеем

=== cos a,

=== cos b,

=== cos g,

что и требовалось доказать.

Следствие 3.16.4. Для направляющих косинусов справедливо соотношение

Дата добавления: 2014-01-05