КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Характеристический полином матрицыОпределение 2.11.1. Матрица , где , — произвольный параметр, называется характеристической матрицей для матрицы. Определение 2.11.2. Определитель характеристической матрицы называется характеристическим полиномом матрицы . Теорема 2.11.1. Степень характеристического полинома квадратной матрицы равна n. Доказательство. Пусть характеристический полином . Как известно, определитель равен сумме произведений элементов характеристической матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Очевидно, что все указанные слагаемые являются полиномами от параметра . При этом наивысшую степень имеет слагаемое , поскольку все остальные слагаемые не будут содержать, по крайней мере, двух элементов, стоящих на главной диагонали матрицы , следовательно, их степень не превосходит . Поэтому , , причем , . Определение 2.11.3. Сумма элементов, стоящих по главной диагонали матрицы , называется следом этой матрицы и обозначается , т. е. . Определение 2.11.4. Корни полинома называются собственными значениями матрицы . Пусть — произвольный полином степени m. Определение 2.11.5. Под записью , где — квадратная матрица, будем понимать матрицу . Определение 2.11.6. Матрица называется аннулирующей для полинома , если 0. Теорема 2.11.2 (теорема Гамильтона-Кэли). Любая квадратная матрица является аннулирующей для своего характеристического полинома. Доказательство. Пусть , а— присоединенная матрица к характеристической матрице . Элементами матрицы служат алгебраические дополнения элементов матрицы , с точностью до знака совпадающие с минорами порядка . Поэтому каждый элемент есть полином, степень которого не превосходит . Следовательно, , где , — постоянные матрицы. Вычислим произведение двух матриц . Так как P присоединенная матрица, то , т. е. . Сравнивая матрицы при одинаковых степенях параметра , получаем следующие матричные соотношения: , , , , . Умножая обе части первого равенства на , второго — на , третьего — на и т. д., а затем, складывая все вновь полученные равенства, имеем соотношение . В результате сокращений в левой части последнего матричного соотношения, получаем 0 , т. е. 0.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1938; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |